ランダウ力学 §14問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§14の問題1の解説です.

問題

球面振子の運動方程式を積分せよ. 球面振子とは, 重力場のなかで半径

l

の球の表面を運動する質点

m

である.

球の中心を原点とし, 鉛直下向きの方向を極軸とする球座標では, 本編(4.6)を利用して

\begin{aligned} (1) & L & = \frac{m l^{2}}{2} ({\dot{θ}}^{2} + \sin^{2} θ \cdot {\dot{φ}}^{2}) + m g l \cos θ \end{aligned}

となる. 座標 $φ$ は循環座標であるから, 本編と同様 $p_{φ}$ ないしは $M_{z}$ が保存される, すなわち

\begin{aligned} (2) & M_{z} & = p_{φ} = \frac{\partial L}{\partial \dot{φ}} = m l^{2} \dot{φ} \sin^{2} θ = const \end{aligned}

となる.

エネルギーは

\begin{aligned} E & = \frac{m l^{2}}{2} ({\dot{θ}}^{2} + \sin^{2} θ \cdot {\dot{φ}}^{2}) - m g l \cos θ \\ (3) & = \frac{m l^{2} {\dot{θ}}^{2}}{2} + \frac{M_{z}^{2}}{2 m l^{2} \sin^{2} θ} - m g l \cos θ \end{aligned}

である. これを $\dot{θ}$ について解くと

\begin{aligned} \dot{θ} & = \sqrt{\frac{2}{m l^{2}} (E + m g l \cos θ - \frac{M_{z}^{2}}{2 m l^{2} \sin^{2} θ})} \end{aligned}

となり, 変数分離で積分して

\begin{aligned} (4) & t & = \int \frac{d θ}{\sqrt{\frac{2}{m l^{2}} (E + m g l \cos θ - \frac{M_{z}^{2}}{2 m l^{2} \sin^{2} θ})}} \end{aligned}

となる.

また, $(2)$ から

\begin{aligned} \frac{d φ}{d t} & = \frac{M_{z}}{m l^{2} \sin^{2} θ} \end{aligned}

となる. これを用いると

\begin{aligned} \frac{d θ}{d φ} & = \frac{m l^{2} \sin^{2} θ}{M_{z}} \sqrt{\frac{2}{m l^{2}} (E + m g l \cos θ - \frac{M_{z}^{2}}{2 m l^{2} \sin^{2} θ})} \end{aligned}

となり, 変数分離で積分して

\begin{aligned} (5) & φ & = \frac{M_{z}}{l \sqrt{2 m}} \int \frac{d θ}{\sin^{2} θ \sqrt{E + m g l \cos θ - \frac{M_{z}^{2}}{2 m l^{2} \sin^{2} θ}}} \end{aligned}

となる.

角度 $θ$ に関する運動の領域は, 条件

\begin{aligned} (6) & E & > \frac{M_{z}^{2}}{2 m l^{2} \sin^{2} θ} - m g l \cos θ \end{aligned}

すなわち

\begin{aligned} (7) & 2 m^{2} g l^{2} \cos^{3} θ + 2 m l^{2} E \cos^{2} θ - 2 m^{2} g l^{2} \cos θ + M_{z}^{2} - 2 m l^{2} E & < 0 \end{aligned}

で決められる. 境界を求める方程式は, $\cos θ$ の3次方程式となる.

以下, $x = \cos θ$ とし, 関数 $f (x)$ を

\begin{aligned} (8) & f (x) & = 2 m^{2} g l^{2} x^{3} + 2 m l^{2} E x^{2} - 2 m^{2} g l^{2} x + M_{z}^{2} - 2 m l^{2} E \end{aligned}

と定める.

$f (x)$ のグラフは $x \to \infty$ のとき $f (x) \to \infty$ , $x \to - \infty$ のとき $f (x) \to - \infty$ となるような3次関数のグラフである.
計算すれば,
$\begin{aligned} f (1) = f (- 1) & = M_{z}^{2} \geq 0 \end{aligned}$
が容易にわかる.
$f (x)$ の導関数 $f^{'} (x)$ を計算すると,
$\begin{aligned} f^{'} (x) & = 6 m^{2} g l^{2} x^{2} + 4 m l^{2} E x - 2 m^{2} g l^{2} \end{aligned}$
であるから, $f^{'} (x) = 0$ を満たす $x$ は
$\begin{aligned} x & = \frac{- E \pm \sqrt{E^{2} + 3 m^{2} g^{2}}}{3 m g} \end{aligned}$
である. どちらも実数であり, 符号 $-$ の方は負であり, $+$ の方は正である. また,
$\begin{array}{r} \sqrt{E^{2} + 3 m^{2} g^{2}} \leq E + \sqrt{3} m g < E + 3 m g \end{array}$
であるから,
$\begin{array}{r} (0 <) \frac{- E \pm \sqrt{E^{2} + 3 m^{2} g^{2}}}{3 m g} < 1 \end{array}$
である. a.と併せて考えれば, 極小となるのは $0 < x < 1$ の範囲であることが分かる.

以上から, $f (x)$ のグラフは, 下の図のようになる.

図のように, 方程式 $f (x) = 0$ は $- 1$ から $+ 1$ までの区間で高々2つの根をもつ.

2つの根を持てば, その根は球面上の2つの緯線の位置を決定し, 軌跡全体はこの2つの緯線の間に含まれる.
1つの根しかもたなければ, その根は球面上の1つの緯線の位置を決定し, 質点はこの緯線上を運動する.
根を持たない場合は, 運動可能領域がないということになるので, 物理的には存在しないであろう. (この可能性は, 「極小値が正でない」や「 $f (x) = 0$ が虚数根を持たない」などを説明できれば消える. )