ランダウ力学 §14問題1 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§14の問題1の解説です.

問題

球面振子の運動方程式を積分せよ. 球面振子とは, 重力場のなかで半径$l$の球の表面を運動する質点$m$である.

解答作成

球の中心を原点とし, 鉛直下向きの方向を極軸とする球座標では, 本編(4.6)を利用して

\begin{align} L &= \frac{ml^2}{2} \left( \dot{\theta}^2 + \sin^2 \theta \cdot \dot{\varphi}^2 \right) + mgl \cos \theta \end{align}

となる. 座標$\varphi$は循環座標であるから, 本編と同様$p_\varphi$ないしは$M_z$が保存される, すなわち

\begin{align} M_z &= p_\varphi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = ml^2 \dot{\varphi} \sin^2 \theta = \text{const} \label{eq_14-e1} \end{align}

となる.

エネルギーは

\begin{align} E &= \frac{ml^2}{2} \left( \dot{\theta}^2 + \sin^2 \theta \cdot \dot{\varphi}^2 \right) - mgl \cos \theta \nonumber \\ &= \frac{ml^2 \dot{\theta}^2}{2} + \frac{M_z^2}{2ml^2 \sin^2\theta} - mgl \cos \theta \end{align}

である. これを$\dot{\theta}$について解くと

\begin{align} \dot{\theta} &= \sqrt{\frac{2}{ml^2} \left( E + mgl \cos \theta - \frac{M_z^2}{2ml^2 \sin^2\theta} \right)} \nonumber \end{align}

となり, 変数分離で積分して

\begin{align} t &= \int \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\frac{2}{ml^2} \left( E + mgl \cos \theta - \frac{M_z^2}{2ml^2 \sin^2\theta} \right)}} \end{align}

となる.

また, \eqref{eq_14-e1}から

\begin{align} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} &= \frac{M_z}{ml^2 \sin^2 \theta} \nonumber \end{align}

となる. これを用いると

\begin{align} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} \varphi} &= \frac{ml^2 \sin^2 \theta}{M_z} \sqrt{\frac{2}{ml^2} \left( E + mgl \cos \theta - \frac{M_z^2}{2ml^2 \sin^2\theta} \right)} \nonumber \end{align}

となり, 変数分離で積分して

\begin{align} \varphi &= \frac{M_z}{l \sqrt{2m}} \int \frac{\mathrm{d}\theta}{\sin^2 \theta \sqrt{E + mgl \cos \theta - \frac{M_z^2}{2ml^2 \sin^2\theta}}} \end{align}

となる.

運動可能領域

角度$\theta$に関する運動の領域は, 条件

\begin{align} E &> \frac{M_z^2}{2ml^2 \sin^2\theta} - mgl \cos \theta \end{align}

すなわち

\begin{align} 2m^2 g l^2 \cos^3 \theta + 2ml^2 E \cos^2 \theta - 2m^2 g l^2 \cos \theta + M_z^2 - 2ml^2 E &< 0 \end{align}

で決められる. 境界を求める方程式は, $\cos \theta$の3次方程式となる.

以下, $x= \cos \theta$とし, 関数$f(x)$を

\begin{align} f(x) &= 2m^2 g l^2 x^3 + 2ml^2 E x^2 - 2m^2 g l^2 x + M_z^2 - 2ml^2 E \end{align}

と定める.

$f(x)$のグラフは$x \to \infty$のとき$f(x) \to \infty$, $x \to - \infty$のとき$f(x) \to - \infty$となるような3次関数のグラフである.
計算すれば,
\begin{align} f(1) = f(-1) &= M_z^2 \geq 0 \nonumber \end{align}
が容易にわかる.
$f(x)$の導関数$f'(x)$を計算すると,
\begin{align} f'(x) &= 6m^2 g l^2 x^2 + 4ml^2 E x - 2m^2 g l^2 \nonumber \end{align}
であるから, $f'(x)=0$を満たす$x$は
\begin{align} x &= \frac{-E \pm \sqrt{E^2 + 3m^2g^2}}{3mg} \nonumber \end{align}
である. どちらも実数であり, 符号$-$の方は負であり, $+$の方は正である. また,
\begin{align} \sqrt{E^2 + 3m^2g^2} \leq E + \sqrt{3}mg < E + 3mg \nonumber \end{align}
であるから,
\begin{align} (0< ) \frac{-E \pm \sqrt{E^2 + 3m^2g^2}}{3mg} < 1 \nonumber \end{align}
である. a.と併せて考えれば, 極小となるのは$0 < x < 1$の範囲であることが分かる.

以上から, $f(x)$のグラフは, 下の図のようになる.

図のように, 方程式$f(x)=0$は$-1$から$+1$までの区間で高々2つの根をもつ.

2つの根を持てば, その根は球面上の2つの緯線の位置を決定し, 軌跡全体はこの2つの緯線の間に含まれる.
1つの根しかもたなければ, その根は球面上の1つの緯線の位置を決定し, 質点はこの緯線上を運動する.
根を持たない場合は, 運動可能領域がないということになるので, 物理的には存在しないであろう. (この可能性は, 「極小値が正でない」や「$f(x)=0$が虚数根を持たない」などを説明できれば消える. )

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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