ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§9の問題2の解説です.
問題
同じことを球座標$r , \theta , \varphi$をつかっておこなえ.
問題1は以下の通り.
粒子の角運動量のデカルト座標での3つの成分とその絶対値の大きさを, 円柱座標$r , \varphi , z$をつかって書き表せ.
解答作成
粒子の角運動量のデカルト座標での3つの成分は,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
M_x &= m \left( y \dot{z} - z \dot{y} \right) , \nonumber \\
M_y &= m \left( z \dot{x} - x \dot{z} \right) , \nonumber \\
M_z &= m \left( x \dot{y} - y \dot{x} \right) \nonumber
\end{aligned}
\right.
\end{align}
である. 一方, デカルト座標と円柱座標の間の変換則は,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= r \sin \theta \cos \varphi , \nonumber \\
y &= r \sin \theta \sin \varphi , \nonumber \\
z &= r \cos \theta \nonumber
\end{aligned}
\right.
\end{align}
であるから, これを代入する. $M_x$は
\begin{align}
M_x &= m \left\{ r \sin \theta \sin \varphi \left( \dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta \right) \right. \nonumber \\
&\quad \left. - r \cos \theta \left( \dot{r} \sin \theta \sin \varphi + r \dot{\theta} \cos \theta \sin \varphi + r \dot{\varphi} \sin \theta \cos \varphi \right) \right\} \nonumber \\
&= - m r^2 \dot{\theta} \sin \varphi - m r^2 \dot{\varphi} \sin \theta \cos \theta \cos \varphi \nonumber \\
&= - m r^2 \left( \dot{\theta} \sin \varphi + \dot{\varphi} \sin \theta \cos \theta \cos \varphi \right)
\end{align}
となり, $M_y$は
\begin{align}
M_y &= m \left\{ r \cos \theta \left( \dot{r} \sin \theta \cos \varphi + r \dot{\theta} \cos \theta \cos \varphi - r \dot{\varphi} \sin \theta \sin \varphi \right) \right. \nonumber \\
&\quad \left. - r \sin \theta \cos \varphi \left( \dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta \right) \right) \nonumber \\
&= m r^2 \dot{\theta} \cos \varphi - m r^2 \dot{\varphi} \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \nonumber \\
&= m r^2 \left( \dot{\theta} \cos \varphi - \dot{\varphi} \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \right)
\end{align}
となり, $M_z$は
\begin{align}
M_z &= m \left\{ r \sin \theta \cos \varphi \left( \dot{r} \sin \theta \sin \varphi + r \dot{\theta} \cos \theta \sin \varphi + r \dot{\varphi} \sin \theta \cos \varphi \right) \right. \nonumber \\
&\quad \left. - r \sin \theta \sin \varphi \left( \dot{r} \sin \theta \cos \varphi + r \dot{\theta} \cos \theta \cos \varphi - r \dot{\varphi} \sin \theta \sin \varphi \right) \right\} \nonumber \\
&= m r^2 \dot{\varphi} \sin^2 \theta
\end{align}
となる.
また, $M^2$は
\begin{align}
M^2 &= M_x^2 + M_y^2 + M_z^2 \nonumber \\
&= \left\{ - m r^2 \left( \dot{\theta} \sin \varphi + \dot{\varphi} \sin \theta \cos \theta \cos \varphi \right) \right\}^2 \nonumber \\
&\quad + \left\{ m r^2 \left( \dot{\theta} \cos \varphi - \dot{\varphi} \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \right) \right\}^2 \nonumber \\
&\quad + m^2 r^4 \dot{\varphi}^2 \sin^4 \theta \nonumber \\
&= m^2 r^4 \dot{\theta}^2 + m^2 r^4 \dot{\varphi}^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + m^2 r^4 \dot{\varphi}^2 \sin^4 \theta \nonumber \\
&= m^2 r^4 \dot{\theta}^2 + m^2 r^4 \dot{\varphi}^2 \sin^2 \theta \nonumber \\
&= m^2 r^4 \left( \dot{\theta}^2 + \dot{\varphi}^2 \sin^2 \theta \right)
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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