ランダウ力学 §9問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§9の問題2の解説です.

問題

同じことを球座標

r, θ, φ

をつかっておこなえ.

問題1は以下の通り.

粒子の角運動量のデカルト座標での3つの成分とその絶対値の大きさを, 円柱座標

r, φ, z

をつかって書き表せ.

粒子の角運動量のデカルト座標での3つの成分は,

\begin{array}{r} (1) & {\begin{aligned} M_{x} & = m (y \dot{z} - z \dot{y}), \\ M_{y} & = m (z \dot{x} - x \dot{z}), \\ M_{z} & = m (x \dot{y} - y \dot{x}) \end{aligned} \end{array}

である. 一方, デカルト座標と円柱座標の間の変換則は,

\begin{array}{r} (2) & {\begin{aligned} x & = r \sin θ \cos φ, \\ y & = r \sin θ \sin φ, \\ z & = r \cos θ \end{aligned} \end{array}

であるから, これを代入する. $M_{x}$ は

\begin{aligned} M_{x} & = m {r \sin θ \sin φ (\dot{r} \cos θ - r \dot{θ} \sin θ) \\ - r \cos θ (\dot{r} \sin θ \sin φ + r \dot{θ} \cos θ \sin φ + r \dot{φ} \sin θ \cos φ)} \\ = - m r^{2} \dot{θ} \sin φ - m r^{2} \dot{φ} \sin θ \cos θ \cos φ \\ (3) & = - m r^{2} (\dot{θ} \sin φ + \dot{φ} \sin θ \cos θ \cos φ) \end{aligned}

となり, $M_{y}$ は

\begin{aligned} M_{y} & = m {r \cos θ (\dot{r} \sin θ \cos φ + r \dot{θ} \cos θ \cos φ - r \dot{φ} \sin θ \sin φ) \\ - r \sin θ \cos φ (\dot{r} \cos θ - r \dot{θ} \sin θ)) \\ = m r^{2} \dot{θ} \cos φ - m r^{2} \dot{φ} \sin θ \cos θ \sin φ \\ (4) & = m r^{2} (\dot{θ} \cos φ - \dot{φ} \sin θ \cos θ \sin φ) \end{aligned}

となり, $M_{z}$ は

\begin{aligned} M_{z} & = m {r \sin θ \cos φ (\dot{r} \sin θ \sin φ + r \dot{θ} \cos θ \sin φ + r \dot{φ} \sin θ \cos φ) \\ - r \sin θ \sin φ (\dot{r} \sin θ \cos φ + r \dot{θ} \cos θ \cos φ - r \dot{φ} \sin θ \sin φ)} \\ (5) & = m r^{2} \dot{φ} \sin^{2} θ \end{aligned}

となる.

また, $M^{2}$ は

\begin{aligned} M^{2} & = M_{x}^{2} + M_{y}^{2} + M_{z}^{2} \\ = {- m r^{2} (\dot{θ} \sin φ + \dot{φ} \sin θ \cos θ \cos φ)}^{2} \\ + {m r^{2} (\dot{θ} \cos φ - \dot{φ} \sin θ \cos θ \sin φ)}^{2} \\ + m^{2} r^{4} {\dot{φ}}^{2} \sin^{4} θ \\ = m^{2} r^{4} {\dot{θ}}^{2} + m^{2} r^{4} {\dot{φ}}^{2} \sin^{2} θ \cos^{2} θ + m^{2} r^{4} {\dot{φ}}^{2} \sin^{4} θ \\ = m^{2} r^{4} {\dot{θ}}^{2} + m^{2} r^{4} {\dot{φ}}^{2} \sin^{2} θ \\ (6) & = m^{2} r^{4} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{φ}}^{2} \sin^{2} θ) \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.