ランダウ力学 §10問題2 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§10の問題2の解説です.

問題

解答作成

全ての時間を$\alpha$倍すると同時にポテンシャルエネルギーを$\beta$倍する変換

を考えると, 運動エネルギー$\displaystyle T = \sum_a \frac{1}{2} m_a \left( \frac{\mathrm{d} \bm{r}_a}{\mathrm{d} t} \right)^2$は$\displaystyle \alpha^{-2}$倍となる. よって, $\alpha$と$\beta$の間に

の関係があるとき, Lagrangianが同じになるから運動方程式は不変にとどまる. 座標は変化させていないため, 運動は同一の軌跡となる.

したがって, それぞれが運動に要する時間のあいだの比は, ポテンシャルエネルギー比の$- 1 / 2$乗になり,

となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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