ランダウ力学 §10問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§10の問題2の解説です.

問題

ポテンシャルエネルギーを定数倍だけ変化させたとき, 同一の軌道に沿っての運動の時間はどう変化するか.

全ての時間を $α$ 倍すると同時にポテンシャルエネルギーを $β$ 倍する変換

\begin{aligned} t & \to α t U \to β U \end{aligned}

を考えると, 運動エネルギー $T = \sum_{a} \frac{1}{2} m_{a} {(\frac{d r_{a}}{d t})}^{2}$ は $α^{- 2}$ 倍となる. よって, $α$ と $β$ の間に

\begin{aligned} α^{- 2} & = β \\ α & = β^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}

の関係があるとき, Lagrangianが同じになるから運動方程式は不変にとどまる. 座標は変化させていないため, 運動は同一の軌跡となる.

したがって, それぞれが運動に要する時間のあいだの比は, ポテンシャルエネルギー比の $- 1 / 2$ 乗になり,

\begin{aligned} (1) & \frac{t^{'}}{t} & = \sqrt{\frac{U}{U^{'}}} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.