ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§13の問題の解説です.
問題
質量$M$の1つの質点と, $n$個の, 互いに同一な質量$m$をもった質点とからなる系がある. 慣性中心の運動を消去して$n$個の質点の運動についての問題に導け.
解答作成
以下のように位置ベクトルを定める.
- $\bm{R}$：質量$M$の質点の位置ベクトル
- $\bm{R}_a$：$a$番目の質量$m$の質点の位置ベクトル
また, $\bm{r}_a$を
\begin{align}
\bm{r}_a &= \bm{R}_a - \bm{R} \label{eq_13-e1}
\end{align}
とする. 座標の原点を慣性中心にとると,
\begin{align}
M \bm{R} + m \sum_a \bm{R}_a &= \bm{0} \label{eq_13-e2}
\end{align}
となる.
\eqref{eq_13-e1}, \eqref{eq_13-e2}から$\bm{R}$, $\bm{R}_a$を$\bm{r}_a$で表す. $\bm{R}$に関して,
\begin{align}
M \bm{R} + m \sum_a \left( \bm{r}_a + \bm{R} \right) &= \bm{0} \nonumber \\
\left( M + nm \right) \bm{R} &= - m \sum_a \bm{r}_a \nonumber \\
\bm{R} &= - \frac{m}{M + nm} \sum_a \bm{r}_a \nonumber
\end{align}
となる. 時間微分すると
\begin{align}
\dot{\bm{R}} &= - \frac{m}{M + nm} \sum_a \bm{v}_a , \nonumber \\
\dot{\bm{R}}^2 &= \frac{m^2}{\left( M + nm \right)^2} \left( \sum_a \bm{v}_a \right)^2 \label{eq_13-e3}
\end{align}
となる. また, $\bm{R}_a$に関して,
\begin{align}
\bm{R}_a &= \bm{R} + \bm{r}_a \nonumber
\end{align}
となる. 時間微分すると
\begin{align}
\dot{\bm{R}}_a &= \dot{\bm{R}} + \bm{v}_a \nonumber \\
\dot{\bm{R}}_a^2 &= \dot{\bm{R}}^2 + \bm{v}_a^2 + 2 \dot{\bm{R}} \cdot \bm{v}_a \nonumber \\
&= \frac{m^2}{\left( M + nm \right)^2} \left( \sum_b \bm{v}_b \right)^2 + \bm{v}_a^2 - 2 \frac{m}{M + nm} \bm{v}_a \cdot \sum_b \bm{v}_b \label{eq_13-e4}
\end{align}
となる.
この系のLagrangianは
\begin{align}
L &= \frac{M\dot{\bm{R}}^2}{2} + \frac{m}{2} \sum_a \dot{\bm{R}}_a^2 - U \nonumber
\end{align}
であるから, \eqref{eq_13-e3}, \eqref{eq_13-e4}を用いて$\bm{r}_a$で書き直すと,
\begin{align}
L &= \frac{M}{2} \frac{m^2}{\left( M + nm \right)^2} \left( \sum_a \bm{v}_a \right)^2 \nonumber \\
&\qquad + \frac{m}{2} \sum_a \left\{ \frac{m^2}{\left( M + nm \right)^2} \left( \sum_b \bm{v}_b \right)^2 + \bm{v}_a^2 \right. \nonumber \\
&\qquad \left. - 2 \frac{m}{M + nm} \bm{v}_a \cdot \sum_b \bm{v}_b \right\} - U \nonumber \\
&= \frac{Mm^2}{2\left( M + nm \right)^2} \left( \sum_a \bm{v}_a \right)^2 + \frac{nm^3}{2\left( M + nm \right)^2} \left( \sum_a \bm{v}_a \right)^2 \nonumber \\
&\quad + \frac{m}{2} \sum_a \bm{v}_a^2 - \frac{m^2}{M + nm} \left( \sum_a \bm{v}_a \right)^2 - U \nonumber \\
&= \frac{m}{2} \sum_a \bm{v}_a^2 - \frac{m^2}{2 \left( M + nm \right)} \left( \sum_a \bm{v}_a \right)^2 - U
\end{align}
となる. このようにして, Lagrangianを$\bm{r}_a$の関数として表せたので, $n$個の質点の運動についての問題に導けた.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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