ランダウ力学 §13問題解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§13の問題の解説です.

1問題
2解答作成
3参考文献
4関連記事

問題

質量

M

の1つの質点と,

n

個の, 互いに同一な質量

m

をもった質点とからなる系がある. 慣性中心の運動を消去して

n

個の質点の運動についての問題に導け.

解答作成

以下のように位置ベクトルを定める.

$R$ ：質量 $M$ の質点の位置ベクトル
$R_{a}$ ： $a$ 番目の質量 $m$ の質点の位置ベクトル

また, $r_{a}$ を

\begin{aligned} (1) & r_{a} & = R_{a} - R \end{aligned}

とする. 座標の原点を慣性中心にとると,

\begin{aligned} (2) & M R + m \sum_{a} R_{a} & = 0 \end{aligned}

となる.

$(1)$ , $(2)$ から $R$ , $R_{a}$ を $r_{a}$ で表す. $R$ に関して,

\begin{aligned} M R + m \sum_{a} (r_{a} + R) & = 0 \\ (M + n m) R & = - m \sum_{a} r_{a} \\ R & = - \frac{m}{M + n m} \sum_{a} r_{a} \end{aligned}

となる. 時間微分すると

\begin{aligned} \dot{R} & = - \frac{m}{M + n m} \sum_{a} v_{a}, \\ (3) & {\dot{R}}^{2} & = \frac{m^{2}}{{(M + n m)}^{2}} {(\sum_{a} v_{a})}^{2} \end{aligned}

となる. また, $R_{a}$ に関して,

\begin{aligned} R_{a} & = R + r_{a} \end{aligned}

となる. 時間微分すると

\begin{aligned} {\dot{R}}_{a} & = \dot{R} + v_{a} \\ {\dot{R}}_{a}^{2} & = {\dot{R}}^{2} + v_{a}^{2} + 2 \dot{R} \cdot v_{a} \\ (4) & = \frac{m^{2}}{{(M + n m)}^{2}} {(\sum_{b} v_{b})}^{2} + v_{a}^{2} - 2 \frac{m}{M + n m} v_{a} \cdot \sum_{b} v_{b} \end{aligned}

となる.

この系のLagrangianは

\begin{aligned} L & = \frac{M {\dot{R}}^{2}}{2} + \frac{m}{2} \sum_{a} {\dot{R}}_{a}^{2} - U \end{aligned}

であるから, $(3)$ , $(4)$ を用いて $r_{a}$ で書き直すと,

\begin{aligned} L & = \frac{M}{2} \frac{m^{2}}{{(M + n m)}^{2}} {(\sum_{a} v_{a})}^{2} \\ + \frac{m}{2} \sum_{a} {\frac{m^{2}}{{(M + n m)}^{2}} {(\sum_{b} v_{b})}^{2} + v_{a}^{2} \\ - 2 \frac{m}{M + n m} v_{a} \cdot \sum_{b} v_{b}} - U \\ = \frac{M m^{2}}{2 {(M + n m)}^{2}} {(\sum_{a} v_{a})}^{2} + \frac{n m^{3}}{2 {(M + n m)}^{2}} {(\sum_{a} v_{a})}^{2} \\ + \frac{m}{2} \sum_{a} v_{a}^{2} - \frac{m^{2}}{M + n m} {(\sum_{a} v_{a})}^{2} - U \\ (5) & = \frac{m}{2} \sum_{a} v_{a}^{2} - \frac{m^{2}}{2 (M + n m)} {(\sum_{a} v_{a})}^{2} - U \end{aligned}

となる. このようにして, Lagrangianを $r_{a}$ の関数として表せたので, $n$ 個の質点の運動についての問題に導けた.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程

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