ランダウ力学 §10問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§10の問題1の解説です.

問題

同じポテンシャルエネルギーのもとで異なる質量をもつ質点が同一の軌跡を運動する. それぞれが運動に要する時間のあいだの比を求めよ.

全ての時間を $α$ 倍すると同時に質量を $β$ 倍する変換

\begin{aligned} t & \to α t m \to β m \end{aligned}

を考えると, 運動エネルギー $T = \sum_{a} \frac{1}{2} m_{a} {(\frac{d r_{a}}{d t})}^{2}$ は $\frac{β}{α^{2}}$ 倍となる. 一方で, ポテンシャルエネルギーは同一であるから, $α$ と $β$ の間に

\begin{aligned} \frac{β}{α^{2}} & = 1 \\ α & = β^{\frac{1}{2}} \end{aligned}

の関係があるとき, Lagrangianが同じになるから運動方程式は不変にとどまる. 座標は変化させていないため, 運動は同一の軌跡となる.

したがって, それぞれが運動に要する時間のあいだの比は, 質量比の $1 / 2$ 乗になり,

\begin{aligned} (1) & \frac{t^{'}}{t} & = \sqrt{\frac{m^{'}}{m}} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.