ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§9の問題1の解説です.
問題
粒子の角運動量のデカルト座標での3つの成分とその絶対値の大きさを, 円柱座標$r , \varphi , z$をつかって書き表せ.
解答作成
粒子の角運動量のデカルト座標での3つの成分は,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
M_x &= m \left( y \dot{z} - z \dot{y} \right) , \nonumber \\
M_y &= m \left( z \dot{x} - x \dot{z} \right) , \nonumber \\
M_z &= m \left( x \dot{y} - y \dot{x} \right) \nonumber
\end{aligned}
\right.
\end{align}
である. 一方, デカルト座標と円柱座標の間の変換則は,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= r \cos \varphi , \nonumber \\
y &= r \sin \varphi , \nonumber \\
z &= z \nonumber
\end{aligned}
\right.
\end{align}
であるから, これを代入する. $M_x$は
\begin{align}
M_x &= m \left\{ r \sin \varphi \cdot \dot{z} - z \left( \dot{r} \sin \varphi + r \dot{\varphi} \cos \varphi \right) \right\} \nonumber \\
&= m \sin \varphi \left( r \dot{z} - z \dot{r} \right) - mrz \dot{\varphi} \cos \varphi
\end{align}
となり, $M_y$は
\begin{align}
M_y &= m \left\{ z \left( \dot{r} \cos \varphi - r \dot{\varphi} \sin \varphi \right) - r \cos \varphi \cdot \dot{z} \right\} \nonumber \\
&= m \cos \varphi \left( z \dot{r} - r \dot{z} \right) - m r z \dot{\varphi} \sin \varphi
\end{align}
となり, $M_z$は
\begin{align}
M_z &= m \left\{ r \cos \varphi \left( \dot{r} \sin \varphi + r \dot{\varphi} \cos \varphi \right) \right. \nonumber \\
&\qquad \left. - r \sin \varphi \left( \dot{r} \cos \varphi - r \dot{\varphi} \sin \varphi \right) \right\} \nonumber \\
&= mr^2 \dot{\varphi}
\end{align}
となる.
また, $M^2$は
\begin{align}
M^2 &= M_x^2 + M_y^2 + M_z^2 \nonumber \\
&= \left\{ m \sin \varphi \left( r \dot{z} - z \dot{r} \right) - mrz \dot{\varphi} \cos \varphi \right\}^2 \nonumber \\
&\qquad + \left\{ m \cos \varphi \left( z \dot{r} - r \dot{z} \right) - m r z \dot{\varphi} \sin \varphi \right\}^2 \nonumber \\
&\qquad + m^2 r^4 \dot{\varphi}^2 \nonumber \\
&= \left\{ m \sin \varphi \left( r \dot{z} - z \dot{r} \right) - mrz \dot{\varphi} \cos \varphi \right\}^2 \nonumber \\
&\qquad + \left\{ m \cos \varphi \left( r \dot{z} - z \dot{r} \right) + m r z \dot{\varphi} \sin \varphi \right\}^2 \nonumber \\
&\qquad + m^2 r^4 \dot{\varphi}^2 \nonumber \\
&= m^2 \left( r \dot{z} - z \dot{r} \right)^2 + m^2 r^2 z^2 \dot{\varphi}^2 + m^2 r^4 \dot{\varphi}^2 \nonumber \\
&= m^2 r^2 \dot{\varphi}^2 \left( r^2 + z^2 \right) + m^2 \left( r \dot{z} - z \dot{r} \right)^2
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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