ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§14の問題2の解説です.
問題
重力場のなかで, 頂点を下方にして鉛直におかれた円錐(頂角$2\alpha$)の表面にそって運動する質点の運動方程式を積分せよ.
解答作成
円錐の頂点を原点とし, 鉛直下向きの方向を極軸とする球座標では, 本編(4.6)を利用して
\begin{align}
L &= \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \sin^2 \alpha \cdot \dot{\varphi} \right) - mgr \cos \alpha
\end{align}
となる. 座標$\varphi$は循環座標であるから, 本編と同様$p_\varphi$ないしは$M_z$が保存される, すなわち
\begin{align}
M_z &= p_\varphi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = mr^2 \sin^2 \alpha \cdot \dot{\varphi} = \text{const} \label{eq_14-2e1}
\end{align}
となる.
エネルギーは
\begin{align}
E &= \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \sin^2 \alpha \cdot \dot{\varphi} \right) + mgr \cos \alpha \nonumber \\
&= \frac{m\dot{r}^2}{2} + \frac{M_z^2}{2mr^2 \sin^2 \alpha} + mgr \cos \alpha
\end{align}
である. これを$\dot{r}$について解くと
\begin{align}
\dot{r} &= \sqrt{\frac{2}{m} \left( E - \frac{M_z^2}{2mr^2 \sin^2 \alpha} - mgr \cos \alpha \right)} \nonumber
\end{align}
となり, 変数分離で積分して
\begin{align}
t &= \int \frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{\frac{2}{m} \left( E - \frac{M_z^2}{2mr^2 \sin^2 \alpha} - mgr \cos \alpha \right)}}
\end{align}
となる.
また, \eqref{eq_14-2e1}から
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} &= \frac{M_z}{mr^2 \sin^2 \theta} \nonumber
\end{align}
となる. これを用いると
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \varphi} &= \frac{mr^2 \sin^2 \theta}{M_z} \sqrt{\frac{2}{m} \left( E - \frac{M_z^2}{2mr^2 \sin^2 \alpha} - mgr \cos \alpha \right)} \nonumber
\end{align}
となり, 変数分離で積分して
\begin{align}
\varphi &= \frac{M_z}{\sin^2 \alpha \cdot \sqrt{2m}} \int \frac{\mathrm{d}r}{r^2 \sqrt{E - \frac{M_z^2}{2mr^2 \sin^2 \alpha} - mgr \cos \alpha}}
\end{align}
となる.
運動可能領域
変位$r$に関する運動の領域は, 条件
\begin{align}
E &> \frac{M_z^2}{2mr^2 \sin^2 \alpha} + mgr \cos \alpha
\end{align}
すなわち
\begin{align}
2m^2 g r^3 \cos \alpha \sin^2 \alpha - 2mE r^2 \sin^2 \alpha + M_z^2 &< 0
\end{align}
で決められる. 境界を求める方程式は, $r$の3次方程式となる.
以下, 関数$f(r)$を
\begin{align}
f(r) &= 2m^2 g r^3 \cos \alpha \sin^2 \alpha - 2mE r^2 \sin^2 \alpha + M_z^2
\end{align}
と定める.
- $f(r)$のグラフは$r \to \infty$のとき$f(r) \to \infty$, $r \to - \infty$のとき$f(r) \to - \infty$となるような3次関数のグラフである.
- 計算すれば,
\begin{align}
f(0) &= M_z^2 \geq 0 \nonumber
\end{align}
が容易にわかる.
- $f(r)$の導関数$f'(r)$を計算すると,
\begin{align}
f'(r) &= 6m^2 g r^2 \cos \alpha \sin^2 \alpha - 4mE r \sin^2 \alpha \nonumber
\end{align}
であるから, $f'(r)=0$を満たす$r$は
\begin{align}
r &= 0, \frac{2E}{3mg \cos \alpha} \nonumber
\end{align}
である. 後者は正である.
以上から, $f(r)$のグラフは, 下の図のようになる.
図のように, 方程式$f(r)=0$は正の区間で高々2つの根をもつ.
- 2つの根を持てば, その根は円錐上の水平な2つの円の位置を決定し, 軌跡は全てこの円の間に含まれる.
- 1つの根しかもたなければ, その根は円錐上の水平な1つの円の位置を決定し 質点はこの円上を運動する.
- 根を持たない場合は, 運動可能領域がないということになるので, 物理的には存在しないであろう. (この可能性は, 「極小値が正でない」や「$f(x)=0$が虚数根を持たない」などを説明できれば消える. )
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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