ランダウ力学 §39問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§39の問題2の解説です.

問題

地球表面から初速度

v_{0}

で投げ出された物体の軌跡の平面からのずれを求めよ.

\begin{aligned} (1) & r & = h + v_{0} t + \frac{t^{2}}{2} g + t^{2} v_{0} \times Ω + \frac{t^{3}}{3} g \times Ω \end{aligned}

を求めるところまでは同じである.

具体的に

とる. すると, 重力加速度ベクトル $g$ に関しては,

\begin{aligned} (2) & g & = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - g \end{array}) \end{aligned}

となり, 角速度ベクトル $Ω$ に関しては,

\begin{aligned} (3) & Ω & = (\begin{array}{c} Ω_{x} \\ Ω_{y} \\ Ω_{z} \end{array}) \end{aligned}

となる. そして, 粒子の初速度ベクトル $v_{0}$ を

\begin{aligned} (4) & v_{0} & = (\begin{array}{c} v_{0 x} \\ 0 \\ v_{0 z} \end{array}) \end{aligned}

とし, 粒子の最初の位置ベクトルを $h = 0$ とすれば, $(1)$ より,

\begin{aligned} (5) & x & = v_{0 x} t - t^{2} v_{0 z} Ω_{y} + \frac{t^{3}}{3} g Ω_{y}, \\ (6) & y & = t^{2} (v_{0 z} Ω_{x} - v_{0 x} Ω_{z}) - \frac{t^{3}}{3} g Ω_{x}, \\ (7) & z & = v_{0 z} t - \frac{t^{2}}{2} g + t^{2} v_{0 x} Ω_{y} \end{aligned}

となる.

飛行に要する時間は, $(7)$ で $z = 0$ かつ $t \neq 0$ として,

\begin{aligned} (8) & t & = \frac{2 v_{0 z}}{g + 2 v_{0 x} Ω_{y}} \approx \frac{2 v_{0 z}}{g} \end{aligned}

と求められる(ただし, $v_{0 x} Ω_{y} ≪ g$ とした). これを $(6)$ に代入して,

\begin{aligned} y & = {(\frac{2 v_{0 z}}{g})}^{2} (v_{0 z} Ω_{x} - v_{0 x} Ω_{z}) - \frac{1}{3} {(\frac{2 v_{0 z}}{g})}^{3} g Ω_{x} \\ (9) & = \frac{4 v_{0 z}^{2}}{g^{2}} (\frac{1}{3} v_{0 z} Ω_{x} - v_{0 x} Ω_{z}) \end{aligned}

となる. つまり, 地球表面から初速度 $v_{0}$ で投げ出された物体は, 地球の自転によって初速度 $v_{0}$ が存在する平面から $(9)$ の大きさだけずれることが分かる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.