ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§39の問題2の解説です.
問題
地球表面から初速度$\bm{v}_0$で投げ出された物体の軌跡の平面からのずれを求めよ.
解答作成
§39問題1と,
\begin{align}
\bm{r} &= \bm{h} + \bm{v}_0 t + \frac{t^2}{2} \bm{g} + t^2 \bm{v}_0 \times \bm{\Omega} + \frac{t^3}{3} \bm{g} \times \bm{\Omega} \label{eq_39-ex2-1}
\end{align}
を求めるところまでは同じである.
具体的に
- $z$軸を鉛直方向に
- $xz$平面に初速度$\bm{v}_0$が含まれるように
とる. すると, 重力加速度ベクトル$\bm{g}$に関しては,
\begin{align}
\bm{g} &=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
-g
\end{pmatrix}
\end{align}
となり, 角速度ベクトル$\bm{\Omega}$に関しては,
\begin{align}
\bm{\Omega} &=
\begin{pmatrix}
\Omega_x \\
\Omega_y \\
\Omega_z
\end{pmatrix}
\end{align}
となる. そして, 粒子の初速度ベクトル$\bm{v}_0$を
\begin{align}
\bm{v}_0 &=
\begin{pmatrix}
v_{0x} \\
0 \\
v_{0z}
\end{pmatrix}
\end{align}
とし, 粒子の最初の位置ベクトルを$\bm{h} = \bm{0}$とすれば, \eqref{eq_39-ex2-1}より,
\begin{align}
x &= v_{0x} t - t^2 v_{0z} \Omega_y + \frac{t^3}{3} g \Omega_y , \\
y &= t^2 \left( v_{0z} \Omega_x - v_{0x} \Omega_z \right) - \frac{t^3}{3} g \Omega_x , \label{eq_39-ex2-2} \\
z &= v_{0z} t - \frac{t^2}{2} g + t^2 v_{0x} \Omega_y \label{eq_39-ex2-3}
\end{align}
となる.
飛行に要する時間は, \eqref{eq_39-ex2-3}で$z = 0$かつ$t \neq 0$として,
\begin{align}
t &= \frac{2 v_{0z}}{g + 2 v_{0x} \Omega_y} \approx \frac{2 v_{0z}}{g}
\end{align}
と求められる(ただし, $v_{0x} \Omega_y \ll g$とした). これを\eqref{eq_39-ex2-2}に代入して,
\begin{align}
y &= \left( \frac{2 v_{0z}}{g} \right)^2 \left( v_{0z} \Omega_x - v_{0x} \Omega_z \right) - \frac{1}{3} \left( \frac{2 v_{0z}}{g} \right)^3 g \Omega_x \nonumber \\
&= \frac{4 v_{0z}^2}{g^2} \left( \frac{1}{3} v_{0z} \Omega_x - v_{0x} \Omega_z \right) \label{eq_39-ex2-4}
\end{align}
となる. つまり, 地球表面から初速度$\bm{v}_0$で投げ出された物体は, 地球の自転によって初速度$\bm{v}_0$が存在する平面から\eqref{eq_39-ex2-4}の大きさだけずれることが分かる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
リンク
関連記事
ランダウ力学 §39問題1 解説
ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§39の問題1の解説です. スポンサーリンク 問題 自由落下する物体が, 地球の自転(その角速度は小さいとみなす)によって鉛直方向からそらされる大きさを見いだせ. 解答作成 重力加速度...
ランダウ力学 §39問題3 解説
ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§39の問題3の解説です. スポンサーリンク 問題 地球の自転が振子の小振動におよぼす影響を見いだせ(いわゆるFoucault振子). 解答作成 非慣性系における運動方程式 \...
ランダウ力学 解説掲載をしていない問題について
ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の解説掲載をしていない問題についてコメントします. スポンサーリンク 解説作成を検討している問題 解説作成を検討している問題を, 以下に示します. 解説作成の取りやめを決断した問題 解説作成の取...
0 件のコメント:
コメントを投稿 (Please feel free to ask me about your questions! You can use Japanese or English in the comments.)