ランダウ力学 §5問題4 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§5の問題4の解説です.

問題

一様な重力場(重力加速度

g

)のなかにある, つぎのような系のLagrangianを求めよ.

図4

系全体の回転軸のまわりの回転角を $φ$ とする. このとき, 問題設定より

\begin{aligned} \dot{φ} & = Ω \end{aligned}

となる.

質点 $m_{1}$ の変位要素は, 球座標の線要素を用いて

\begin{aligned} (1) & d l_{1}^{2} & = a^{2} d θ^{2} + a^{2} \sin^{2} θ d φ^{2} \end{aligned}

となる. また, 質点 $m_{2}$ に関して, Aからの距離は $2 a \cos θ$ となるから, 質点 $m_{2}$ の変位要素は

\begin{aligned} d l_{2} & = - 2 a \sin θ d θ \\ (2) & d l_{2}^{2} & = 4 a^{2} \sin^{2} θ d θ^{2} \end{aligned}

となる. $(1)$ , $(2)$ より, 系の運動エネルギー $T$ は

\begin{aligned} T & = 2 \cdot \frac{1}{2} m_{1} \frac{d l_{1}^{2}}{d t^{2}} + \frac{1}{2} m_{2} \frac{d l_{2}^{2}}{d t^{2}} \\ = m_{1} (a^{2} {\dot{θ}}^{2} + a^{2} \sin^{2} θ \cdot {\dot{φ}}^{2}) + \frac{1}{2} m_{2} \cdot 4 a^{2} \sin^{2} θ \cdot {\dot{θ}}^{2} \\ (3) & = m_{1} a^{2} ({\dot{θ}}^{2} + Ω^{2} \sin^{2} θ) + 2 m_{2} a^{2} \sin^{2} θ \cdot {\dot{θ}}^{2} \end{aligned}

となる.

一方, ポテンシャルエネルギー $U$ は,

\begin{aligned} U & = - 2 m_{1} g a \cos θ - m_{2} g \cdot 2 a \cos θ \\ (4) & = - 2 g a (m_{1} + m_{2}) \cos θ \end{aligned}

となる.

$(3)$ , $(4)$ より, この系のLagrangianは

\begin{aligned} L & = T - U \\ = m_{1} a^{2} ({\dot{θ}}^{2} + Ω^{2} \sin^{2} θ) + 2 m_{2} a^{2} \sin^{2} θ \cdot {\dot{θ}}^{2} \\ (5) & + 2 g a (m_{1} + m_{2}) \cos θ \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.