ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§5の問題4の解説です.
問題
一様な重力場(重力加速度$g$)のなかにある, つぎのような系のLagrangianを求めよ.
- 図4に示したような系. $m_2$は鉛直軸に沿って動き, 系全体はこの軸のまわりを一定の角速度$\Omega$でまわっている.
図4解答作成
系全体の回転軸のまわりの回転角を$\varphi$とする. このとき, 問題設定より
\begin{align}
\dot{\varphi} &= \Omega \nonumber
\end{align}
となる.
質点$m_1$の変位要素は, 球座標の線要素を用いて
\begin{align}
\mathrm{d}l_1^2 &= a^2 \mathrm{d}\theta^2 + a^2 \sin^2 \theta \mathrm{d}\varphi^2 \label{eq_5-e15}
\end{align}
となる. また, 質点$m_2$に関して, Aからの距離は$2a \cos \theta$となるから, 質点$m_2$の変位要素は
\begin{align}
\mathrm{d}l_2 &= - 2a \sin \theta \mathrm{d}\theta \nonumber \\
\mathrm{d}l_2^2 &= 4a^2 \sin^2 \theta \mathrm{d}\theta^2 \label{eq_5-e16}
\end{align}
となる. \eqref{eq_5-e15}, \eqref{eq_5-e16}より, 系の運動エネルギー$T$は
\begin{align}
T &= 2 \cdot \frac{1}{2} m_1 \frac{\mathrm{d}l_1^2}{\mathrm{d}t^2} + \frac{1}{2} m_2 \frac{\mathrm{d}l_2^2}{\mathrm{d}t^2} \nonumber \\
&= m_1 \left( a^2 \dot{\theta}^2 + a^2 \sin^2 \theta \cdot \dot{\varphi}^2 \right) + \frac{1}{2} m_2 \cdot 4a^2 \sin^2 \theta \cdot \dot{\theta}^2 \nonumber \\
&= m_1 a^2 \left( \dot{\theta}^2 + \Omega^2 \sin^2 \theta \right) + 2 m_2 a^2 \sin^2 \theta \cdot \dot{\theta}^2 \label{eq_5-e17}
\end{align}
となる.
一方, ポテンシャルエネルギー$U$は,
\begin{align}
U &= - 2 m_1 g a \cos \theta - m_2 g \cdot 2 a \cos \theta \nonumber \\
&= - 2 g a \left( m_1 + m_2 \right) \cos \theta \label{eq_5-e18}
\end{align}
となる.
\eqref{eq_5-e17}, \eqref{eq_5-e18}より, この系のLagrangianは
\begin{align}
L &= T - U \nonumber \\
&= m_1 a^2 \left( \dot{\theta}^2 + \Omega^2 \sin^2 \theta \right) + 2 m_2 a^2 \sin^2 \theta \cdot \dot{\theta}^2 \nonumber \\
&\quad + 2 g a \left( m_1 + m_2 \right) \cos \theta
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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