ランダウ力学 §42問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§42の問題2の解説です.

問題

M

の成分どうしから構成されるPoissonの括弧式を決めよ.

本編で示されているPoissonの括弧式の性質を用いれば, 直接微分することなく求めることができる.

簡単のため, 質点の座標 $r$ のデカルト成分と角運動量 $M$ のデカルト成分とから構成されるPoissonの括弧式を求めておく. 例えば,

\begin{aligned} {x, M_{x}} & = {x, y p_{z} - z p_{y}} \\ = {x, y p_{z}} - {x, z p_{y}} \\ = {x, y} p_{z} + y {x, p_{z}} - {x, z} p_{y} - z {x, p_{y}} \\ = 0 \end{aligned}

であり,

\begin{aligned} {x, M_{y}} & = {x, z p_{x} - x p_{z}} \\ = {x, z p_{x}} - {x, x p_{z}} \\ = {x, z} p_{x} + z {x, p_{x}} - {x, x} p_{z} - x {x, p_{z}} \\ = z \end{aligned}

であり,

\begin{aligned} {x, M_{z}} & = {x, x p_{y} - y p_{x}} \\ = {x, x p_{y}} - {x, y p_{x}} \\ = {x, x} p_{y} + x {x, p_{y}} - {x, y} p_{x} - y {x, p_{x}} \\ = - y \end{aligned}

である. 残りはこれらの式において添字 $x$ , $y$ , $z$ を循環置換すればよい.

以上の結果と§42問題1の結果を用いて計算する. 例えば,

\begin{aligned} {M_{x}, M_{x}} & = 0 (∵ 歪対称性) \end{aligned}

であり,

\begin{aligned} {M_{x}, M_{y}} & = {y p_{z} - z p_{y}, M_{y}} \\ = {y p_{z}, M_{y}} - {z p_{y}, M_{y}} \\ = y {p_{z}, M_{y}} + {y, M_{y}} p_{z} - z {p_{y}, M_{y}} - {z, M_{y}} p_{y} \\ = y (- p_{x}) + 0 \cdot p_{z} - z \cdot 0 - (- x) p_{y} \\ = x p_{y} - y p_{x} \\ = M_{z} \end{aligned}

であり,

\begin{aligned} {M_{x}, M_{z}} & = {y p_{z} - z p_{y}, M_{z}} \\ = {y p_{z}, M_{z}} - {z p_{y}, M_{z}} \\ = y {p_{z}, M_{z}} + {y, M_{z}} p_{z} - z {p_{y}, M_{z}} - {z, M_{z}} p_{y} \\ = y \cdot 0 + x p_{z} - z p_{x} - 0 \cdot p_{y} \\ = - (z p_{x} - x p_{z}) \\ = - M_{y} \end{aligned}

である. 残りはこれらの式において添字 $x$ , $y$ , $z$ を循環置換すればよい.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.