ランダウ力学 §44問題解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§44の問題の解説です.

1問題
2解答作成
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問題

変分原理

(44.10)

より軌跡の微分方程式を求めよ.

変分原理 $(44.10)$ は

\begin{aligned} (44.10) & δ \int \sqrt{2 m (E - U (q))} d l & = 0 \end{aligned}

である.

解答作成

変分を実行すると,

\begin{aligned} δ \int \sqrt{2 m (E - U)} d l \\ = \int δ (\sqrt{2 m (E - U)}) d l + \int \sqrt{2 m (E - U)} d (δ l) \\ = \int \frac{\partial}{\partial r} (\sqrt{2 m (E - U)}) δ r d l + \int \sqrt{2 m (E - U)} d (δ l) \\ = - \int \frac{\partial U}{\partial r} \frac{m}{\sqrt{2 m (E - U)}} δ r d l + \int \sqrt{2 m (E - U)} d (δ l) \end{aligned}

となる. ここで, $d l^{2} = d r^{2}$ , すなわち $d l \cdot d (δ l) = d r \cdot d (δ r)$ となるから,

\begin{aligned} δ \int \sqrt{2 m (E - U)} d l \\ = - \int \frac{\partial U}{\partial r} \frac{m}{\sqrt{2 m (E - U)}} δ r d l + \int \sqrt{2 m (E - U)} \frac{d r}{d l} d (δ r) \\ = - \int \frac{\partial U}{\partial r} \frac{m}{\sqrt{2 m (E - U)}} δ r d l + \int \sqrt{2 m (E - U)} \frac{d r}{d l} \frac{d (δ r)}{d l} d l \\ = - \int \frac{\partial U}{\partial r} \frac{m}{\sqrt{2 m (E - U)}} δ r d l + \sqrt{2 m (E - U)} \frac{d r}{d l} δ r \\ - \int δ r d l \frac{d}{d l} (\sqrt{2 m (E - U)} \frac{d r}{d l}) \end{aligned}

となる(ただし, 第2項を部分積分した). 積分の限界では $δ r = 0$ となるから, 第2項は消える. 任意の $δ r$ に対してこの変分が $0$ になるためには,

\begin{aligned} \frac{d}{d l} (\sqrt{2 m (E - U)} \frac{d r}{d l}) & = - \frac{\partial U}{\partial r} \frac{m}{\sqrt{2 m (E - U)}} \\ (1) & 2 \sqrt{E - U} \frac{d}{d l} (\sqrt{E - U} \frac{d r}{d l}) & = - \frac{\partial U}{\partial r} \end{aligned}

とならなくてはならない. これが軌跡の方程式となる.

$(1)$ の微分を実行する. それにあたって,

\begin{aligned} (2) & F & = - \frac{\partial U}{\partial r}, \\ (3) & t & = \frac{d r}{d l} \end{aligned}

を導入する. $F$ は力のベクトルであり, $d r / d l$ は軌跡の接線方向の単位ベクトルである. これらを用いると,

\begin{aligned} \frac{d (\sqrt{E - U})}{d l} t + \sqrt{E - U} \frac{d^{2} r}{d l^{2}} & = \frac{F}{2 \sqrt{E - U}} \\ (\frac{d r}{d l} \cdot \frac{\partial (\sqrt{E - U})}{\partial r}) t + \sqrt{E - U} \frac{d^{2} r}{d l^{2}} & = \frac{F}{2 \sqrt{E - U}} \\ - (t \cdot \frac{1}{2 \sqrt{E - U}} \frac{\partial U}{\partial r}) t + \sqrt{E - U} \frac{d^{2} r}{d l^{2}} & = \frac{F}{2 \sqrt{E - U}} \\ (F \cdot t) t + 2 (E - U) \frac{d^{2} r}{d l^{2}} & = F \end{aligned}

となるから,

\begin{aligned} (4) & \frac{d^{2} r}{d l^{2}} & = \frac{F - (F \cdot t) t}{2 (E - U)} \end{aligned}

となる.

ベクトル $F - (F \cdot t) t$ は, 軌跡に垂直な方向への成分 $F_{n}$ である( $(F \cdot t) t$ が軌跡に接する方向への成分であるのだから). 一方, 導関数 $d^{2} r / d l^{2} = d t / d l$ は, $n / R$ に等しい( $n$ は軌跡の主法線方向の単位ベクトル, $R$ は軌跡の曲率半径). $E - U = m v^{2} / 2$ を代入して,