ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§44の問題の解説です.
問題
変分原理\eqref{eq_44-m10}より軌跡の微分方程式を求めよ.
変分原理\eqref{eq_44-m10}は
\begin{align}
\delta \int \sqrt{2m \left( E - U(q) \right)} \mathrm{d}l &= 0 \tag{44.10} \label{eq_44-m10}
\end{align}
である.
解答作成
変分を実行すると,
\begin{align}
&\quad \delta \int \sqrt{2m \left( E - U \right)} \mathrm{d}l \nonumber \\
&= \int \delta \left( \sqrt{2m \left( E - U \right)} \right) \mathrm{d}l + \int \sqrt{2m \left( E - U \right)} \mathrm{d} \left( \delta l \right) \nonumber \\
&= \int \frac{\partial }{\partial \bm{r}} \left( \sqrt{2m \left( E - U \right)} \right) \delta \bm{r} \mathrm{d}l + \int \sqrt{2m \left( E - U \right)} \mathrm{d} \left( \delta l \right) \nonumber \\
&= - \int \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} \frac{m}{\sqrt{2m \left( E - U \right)}} \delta \bm{r} \mathrm{d}l + \int \sqrt{2m \left( E - U \right)} \mathrm{d} \left( \delta l \right) \nonumber
\end{align}
となる. ここで, $\mathrm{d}l^2 = \mathrm{d}\bm{r}^2$, すなわち$\mathrm{d}l \cdot \mathrm{d}\left( \delta l \right) = \mathrm{d}\bm{r} \cdot \mathrm{d}\left( \delta \bm{r} \right)$となるから,
\begin{align}
&\quad \delta \int \sqrt{2m \left( E - U \right)} \mathrm{d}l \nonumber \\
&= - \int \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} \frac{m}{\sqrt{2m \left( E - U \right)}} \delta \bm{r} \mathrm{d}l + \int \sqrt{2m \left( E - U \right)} \frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} l} \mathrm{d} \left( \delta \bm{r} \right) \nonumber \\
&= - \int \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} \frac{m}{\sqrt{2m \left( E - U \right)}} \delta \bm{r} \mathrm{d}l + \int \sqrt{2m \left( E - U \right)} \frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} l} \frac{\mathrm{d} \left( \delta \bm{r} \right)}{\mathrm{d} l} \mathrm{d}l \nonumber \\
&= - \int \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} \frac{m}{\sqrt{2m \left( E - U \right)}} \delta \bm{r} \mathrm{d}l + \sqrt{2m \left( E - U \right)} \frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} l} \delta \bm{r} \nonumber \\
&\quad - \int \delta \bm{r} \mathrm{d}l \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} l} \left( \sqrt{2m \left( E - U \right)} \frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} l} \right) \nonumber
\end{align}
となる(ただし, 第2項を部分積分した). 積分の限界では$\delta \bm{r} = 0$となるから, 第2項は消える. 任意の$\delta \bm{r}$に対してこの変分が$0$になるためには,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} l} \left( \sqrt{2m \left( E - U \right)} \frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} l} \right) &= - \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} \frac{m}{\sqrt{2m \left( E - U \right)}} \nonumber \\
2 \sqrt{E - U} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} l} \left( \sqrt{E - U} \frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} l} \right) &= - \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} \label{eq_44-e1}
\end{align}
とならなくてはならない. これが軌跡の方程式となる.
\eqref{eq_44-e1}の微分を実行する. それにあたって,
\begin{align}
\bm{F} &= - \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} , \\
\bm{t} &= \frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} l}
\end{align}
を導入する. $\bm{F}$は力のベクトルであり, $\mathrm{d} \bm{r} / \mathrm{d} l$は軌跡の接線方向の単位ベクトルである. これらを用いると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \left( \sqrt{E - U} \right)}{\mathrm{d} l} \bm{t} + \sqrt{E - U} \frac{\mathrm{d}^2 \bm{r}}{\mathrm{d} l^2} &= \frac{\bm{F}}{2 \sqrt{E - U}} \nonumber \\
\left( \frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} l} \cdot \frac{\partial \left( \sqrt{E - U} \right)}{\partial \bm{r}} \right) \bm{t} + \sqrt{E - U} \frac{\mathrm{d}^2 \bm{r}}{\mathrm{d} l^2} &= \frac{\bm{F}}{2 \sqrt{E - U}} \nonumber \\
- \left( \bm{t} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{E-U}} \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} \right) \bm{t} + \sqrt{E - U} \frac{\mathrm{d}^2 \bm{r}}{\mathrm{d} l^2} &= \frac{\bm{F}}{2 \sqrt{E - U}} \nonumber \\
\left( \bm{F} \cdot \bm{t} \right) \bm{t} + 2 \left( E-U \right) \frac{\mathrm{d}^2 \bm{r}}{\mathrm{d} l^2} &= \bm{F} \nonumber
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^2 \bm{r}}{\mathrm{d} l^2} &= \frac{\bm{F} - \left( \bm{F} \cdot \bm{t} \right) \bm{t}}{2 \left( E-U \right)}
\end{align}
となる.
ベクトル$\bm{F} - \left( \bm{F} \cdot \bm{t} \right) \bm{t}$は, 軌跡に垂直な方向への成分$\bm{F}_n$である($\left( \bm{F} \cdot \bm{t} \right) \bm{t}$が軌跡に接する方向への成分であるのだから). 一方, 導関数$\mathrm{d}^2 \bm{r} / \mathrm{d}l^2 = \mathrm{d} \bm{t} / \mathrm{d}l$は, $\bm{n} / R$に等しい($\bm{n}$は軌跡の主法線方向の単位ベクトル, $R$は軌跡の曲率半径). $E-U = mv^2 /2$を代入して,
\begin{align}
\bm{n} \frac{mv^2}{R} &= \bm{F}_n
\end{align}
を得る.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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