ランダウ力学 §32問題2(d-f) 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題2(d-f)の解説です.

目次[非表示]

1問題
2解答作成
3参考文献
4関連記事
5脚注

問題

つぎのような一様な物体の主慣性モーメントを求めよ.

辺の長さが $a, b, c$ の直方体.
高さ $h$ , 底面の半径 $R$ の円錐.
半軸の長さ $a, b, c$ の楕円体.

解答作成

直方体の密度は一様であるから, 慣性中心は直方体の中心である. そして, 直方体の質量密度 $ρ$ は直方体の全質量 $μ$ を用いて $ρ = μ / a b c$ と書ける.
長さ $a, b, c$ の辺に沿ってそれぞれ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 軸をとる. 主慣性モーメント $I_{1}$ は,
$\begin{aligned} I_{1} & = \int_{- a / 2}^{a / 2} d x_{1} \int_{- b / 2}^{b / 2} d x_{2} \int_{- c / 2}^{c / 2} d x_{3} ρ (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \\ = \frac{μ b^{2}}{12} + \frac{μ c^{2}}{12} \\ (1) & = \frac{μ}{12} (b^{2} + c^{2}) \end{aligned}$
となる. 主慣性モーメント $I_{2}$ , $I_{3}$ も同様にすれば,
$\begin{aligned} (2) & I_{2} & = \frac{μ}{12} (c^{2} + a^{2}), \\ (3) & I_{3} & = \frac{μ}{12} (a^{2} + b^{2}) \end{aligned}$
となる.
円錐の密度は一様であるから, 円錐の質量密度 $ρ$ は円錐の全質量 $μ$ を用いて $ρ = 3 μ / π h R^{2}$ と書ける.
まず, 円錐の頂点を原点とする座標系で, 慣性モーメントテンソルの類似のテンソル $I_{i k}^{'}$ を計算する. 円錐の軸を $x_{3}$ 軸に合わせる. 一様な円錐はその対称性から対称こま(symmetrical top)で, いまの場合 $I_{1}^{'} = I_{2}^{'} = I^{'}$ (あるいは, 慣性中心に原点を合わせた場合でも $I_{1} = I_{2} = I$ )である. すると, $I^{'} = (I_{1}^{'} + I_{2}^{'}) / 2$ であるから,
$\begin{aligned} I^{'} & = \frac{I_{1}^{'} + I_{2}^{'}}{2} \\ = \frac{1}{2} (\int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \\ + \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{3}^{2} + x_{1}^{2})) \\ (4) & = \frac{ρ}{2} \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2}) \end{aligned}$
を得る. これを円柱座標に座標変換して積分すると, $d x_{1} d x_{2} d x_{3} = r d r d θ d z$ となる. また, 円錐を $x_{3} = z$ の平面で切ったときの断面は半径 $R z / h$ の円となることを利用して,
$\begin{aligned} I^{'} & = \frac{ρ}{2} \int_{0}^{h} d z {\int_{0}^{R z / h} d r \int_{0}^{2 π} d θ r (r^{2} + 2 z^{2})} \\ = π ρ \int_{0}^{h} d z (\frac{R^{4} z^{4}}{4 h^{4}} + \frac{R^{2} z^{4}}{h^{2}}) \\ = π ρ (\frac{R^{4} h}{20} + \frac{R^{2} h^{3}}{5}) \\ (5) & = \frac{3 μ}{5} (\frac{R^{2}}{4} + h^{2}) \end{aligned}$
となる. 一方, $I_{3}^{'}$ に関しては,
$\begin{aligned} I_{3}^{'} & = \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \\ (6) & = ρ \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \end{aligned}$
を得る. これを $I$ と同様に円柱座標に座標変換して積分すると,
$\begin{aligned} I_{3}^{'} & = ρ \int_{0}^{h} d z (\int_{0}^{R z / h} d r \int_{0}^{2 π} d θ r^{3}) \\ = 2 π ρ \int_{0}^{h} d z \frac{R^{4} z^{4}}{4 h^{4}} \\ = \frac{π ρ R^{4} h}{10} \\ (7) & = \frac{3 μ R^{2}}{10} \end{aligned}$
となる.
さて, これを慣性中心のものに直していく. 慣性中心は円錐の軸の上, 頂点から距離 $a = 3 h / 4$ のところにある(後に公開予定の記事参照). 公式
$\begin{aligned} (32.12) & I_{i k}^{'} & = I_{i k} + μ (a^{2} δ_{i k} - a_{i} a_{k}) \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} I & = I^{'} - μ a^{2} \\ = \frac{3 μ}{5} (\frac{R^{2}}{4} + h^{2}) - \frac{9 μ h^{2}}{16}, \\ (8) & = \frac{3 μ}{20} (R^{2} + \frac{h^{2}}{4}), \\ I_{3} & = I_{3}^{'} - (μ a^{2} - μ a^{2}) \\ (9) & = \frac{3 μ R^{2}}{10} \end{aligned}$
となる.
楕円体の密度は一様であるから, 慣性中心は楕円体の中心である. そして, 楕円体の質量密度 $ρ$ は楕円体の全質量 $μ$ を用いて $ρ = 3 μ / 4 π a b c$ と書ける.
長さ $a, b, c$ の半軸に沿ってそれぞれ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 軸をとる. 主慣性モーメント $I_{1}$ は,
$\begin{aligned} I_{1} & = \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \\ (10) & = ρ \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \end{aligned}$
となる. ここで, 楕円体の表面の方程式は,
$\begin{aligned} (11) & \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{c^{2}} & = 1 \end{aligned}$
であるから,
$\begin{array}{r} (12) & x_{1} = a ξ, x_{2} = b η, x_{3} = c ζ \end{array}$
の置換で,
$\begin{aligned} (13) & ξ^{2} + η^{2} + ζ^{2} & = 1 \end{aligned}$
となる. ゆえに, 置換 $(12)$ を用いることで, 楕円体内での体積積分を単位球内での体積積分にすることができる. これを利用すると,
$\begin{aligned} I_{1} & = ρ a b^{3} c^{3} \int_{単位球} d ξ d η d ζ (b^{2} η^{2} + c^{2} ζ^{2}) \\ = \frac{a b c I^{'}}{2} (b^{2} + c^{2}) \\ = \frac{8 π ρ a b c}{30} (b^{2} + c^{2}) \\ (14) & = \frac{μ}{5} (b^{2} + c^{2}) \end{aligned}$
となる^*1. 主慣性モーメント $I_{2}$ , $I_{3}$ も同様にすれば,
$\begin{aligned} (15) & I_{2} & = \frac{μ}{5} (c^{2} + a^{2}), \\ (16) & I_{3} & = \frac{μ}{5} (a^{2} + b^{2}) \end{aligned}$
となる.