ランダウ力学 §32問題2(d-f) 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題2(d-f)の解説です.

問題

解答作成

4. 直方体の密度は一様であるから, 慣性中心は直方体の中心である. そして, 直方体の質量密度$\rho$は直方体の全質量$\mu$を用いて$\rho = \mu / abc$と書ける.
   長さ$a, b, c$の辺に沿ってそれぞれ$x_1, x_2, x_3$軸をとる. 主慣性モーメント$I_1$は,
   \begin{align} I_1 &= \int_{-a/2}^{a/2} \mathrm{d}x_1 \int_{-b/2}^{b/2} \mathrm{d}x_2 \int_{-c/2}^{c/2} \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_2^2 + x_3^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{\mu b^2}{12} + \frac{\mu c^2}{12} \nonumber \\ &= \frac{\mu}{12} \left( b^2 + c^2 \right) \end{align}
   となる. 主慣性モーメント$I_2$, $I_3$も同様にすれば,
   \begin{align} I_2 &= \frac{\mu}{12} \left( c^2 + a^2 \right) , \\ I_3 &= \frac{\mu}{12} \left( a^2 + b^2 \right) \end{align}
   となる.
   
   
5. 円錐の密度は一様であるから, 円錐の質量密度$\rho$は円錐の全質量$\mu$を用いて$\rho = 3 \mu / \pi h R^2$と書ける.
   まず, 円錐の頂点を原点とする座標系で, 慣性モーメントテンソルの類似のテンソル$I_{ik}^\prime$を計算する. 円錐の軸を$x_3$軸に合わせる. 一様な円錐はその対称性から対称こま(symmetrical top)で, いまの場合$I_1^\prime = I_2^\prime = I^\prime$(あるいは, 慣性中心に原点を合わせた場合でも$I_1 = I_2 = I$)である. すると, $I^\prime = \left( I_1^\prime + I_2^\prime \right) / 2$であるから,
   \begin{align} I^\prime &= \frac{I_1^\prime + I_2^\prime}{2} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} \left( \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_2^2 + x_3^2 \right) \right. \nonumber \\ &\quad \left. + \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_3^2 + x_1^2 \right) \right) \nonumber \\ &= \frac{\rho}{2} \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \left( x_1^2 + x_2^2 + 2x_3^2 \right) \end{align}
   を得る. これを円柱座標に座標変換して積分すると, $\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 = r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$となる. また, 円錐を$x_3 = z$の平面で切ったときの断面は半径$Rz / h$の円となることを利用して,
   \begin{align} I^\prime &= \frac{\rho}{2} \int_0^h \mathrm{d}z \left\{ \int_0^{Rz / h} \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \, r \left( r^2 + 2z^2 \right) \right\} \nonumber \\ &= \pi \rho \int_0^h \mathrm{d}z \, \left( \frac{R^4 z^4}{4 h^4} + \frac{R^2 z^4}{h^2} \right) \nonumber \\ &= \pi \rho \left( \frac{R^4 h}{20} + \frac{R^2 h^3}{5} \right) \nonumber \\ &= \frac{3 \mu}{5} \left( \frac{R^2}{4} + h^2 \right) \end{align}
   となる. 一方, $I_3^\prime$に関しては,
   \begin{align} I_3^\prime &= \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_1^2 + x_2^2 \right) \nonumber \\ &= \rho \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \left( x_1^2 + x_2^2 \right) \end{align}
   を得る. これを$I$と同様に円柱座標に座標変換して積分すると,
   \begin{align} I_3^\prime &= \rho \int_0^h \mathrm{d}z \left( \int_0^{Rz / h} \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \, r^3 \right) \nonumber \\ &= 2 \pi \rho \int_0^h \mathrm{d}z \, \frac{R^4 z^4}{4 h^4} \nonumber \\ &= \frac{\pi \rho R^4 h}{10} \nonumber \\ &= \frac{3 \mu R^2}{10} \end{align}
   となる.
   さて, これを慣性中心のものに直していく. 慣性中心は円錐の軸の上, 頂点から距離$a = 3h / 4$のところにある(後に公開予定の記事参照). 公式
   \begin{align} I_{ik}^\prime &= I_{ik} + \mu \left( a^2 \delta_{ik} - a_i a_k \right) \tag{32.12} \end{align}
   より,
   \begin{align} I &= I^\prime - \mu a^2 \nonumber \\ &= \frac{3 \mu}{5} \left( \frac{R^2}{4} + h^2 \right) - \frac{9 \mu h^2}{16} , \nonumber \\ &= \frac{3 \mu}{20} \left( R^2 + \frac{h^2}{4} \right) , \\ I_3 &= I_3^\prime - \left( \mu a^2 - \mu a^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{3 \mu R^2}{10} \end{align}
   となる.
   
   
6. 楕円体の密度は一様であるから, 慣性中心は楕円体の中心である. そして, 楕円体の質量密度$\rho$は楕円体の全質量$\mu$を用いて$\rho = 3 \mu / 4\pi abc$と書ける.
   長さ$a, b, c$の半軸に沿ってそれぞれ$x_1, x_2, x_3$軸をとる. 主慣性モーメント$I_1$は,
   \begin{align} I_1 &= \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_2^2 + x_3^2 \right) \nonumber \\ &= \rho \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \left( x_2^2 + x_3^2 \right) \end{align}
   となる. ここで, 楕円体の表面の方程式は,
   \begin{align} \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2} + \frac{x_3^2}{c^2} &= 1 \end{align}
   であるから,
   \begin{align} x_1 = a \xi , \quad x_2 = b \eta , \quad x_3 = c \zeta \label{eq_32-ex1} \end{align}
   の置換で,
   \begin{align} \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 &= 1 \end{align}
   となる. ゆえに, 置換\eqref{eq_32-ex1}を用いることで, 楕円体内での体積積分を単位球内での体積積分にすることができる. これを利用すると,
   \begin{align} I_1 &= \rho ab^3c^3 \int_{\text{単位球}} \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta \mathrm{d}\zeta \, \left( b^2 \eta^2 + c^2 \zeta^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{abc I^\prime}{2} \left( b^2 + c^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{8 \pi \rho abc}{30} \left( b^2 + c^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{\mu}{5} \left( b^2 + c^2 \right) \end{align}
   となる^*1. 主慣性モーメント$I_2$, $I_3$も同様にすれば,
   \begin{align} I_2 &= \frac{\mu}{5} \left( c^2 + a^2 \right) , \\ I_3 &= \frac{\mu}{5} \left( a^2 + b^2 \right) \end{align}
   となる.
   
   

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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脚注

*1 : 一様な球の主慣性モーメントの計算と一様な球における$x_1, x_2, x_3$軸の対称性から,

となる. ゆえに,

を得る. 単位球の場合$R = 1$で, $I^\prime = 8 \pi \rho / 15$となることにも注意せよ.