ランダウ力学 §32問題4 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題4の解説です.

問題

図39に示すような系の運動エネルギーを見いだせ. OAおよびABは, 長さ

l

の細い一様な棒で, 点Aで蝶つがいによってつながれている. 棒OAは(図の平面内で)点Oのまわりに回転し, 棒ABの端Bは軸

x

にそってすべるものとする.

図39

棒OAの慣性中心の座標 $(X, Y)$ は, 角度AOBを $φ$ として

\begin{aligned} (1) & X_{1} & = \frac{l}{2} \cos φ, \\ (2) & Y_{1} & = \frac{l}{2} \sin φ \end{aligned}

である. 時間微分して

\begin{aligned} (3) & {\dot{X}}_{1} & = - \frac{l \dot{φ}}{2} \sin φ, \\ (4) & {\dot{Y}}_{1} & = \frac{l \dot{φ}}{2} \cos φ \end{aligned}

となる. 角速度は $\dot{φ}$ であるから, 1本の棒の質量を $μ$ , 棒の慣性モーメントを $I$ として, 棒OAの運動エネルギーが

\begin{aligned} T_{1} & = \frac{μ}{2} ({\dot{X}}_{1}^{2} + {\dot{Y}}_{1}^{2}) + \frac{I {\dot{φ}}^{2}}{2} \\ (5) & = \frac{μ l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{8} + \frac{I {\dot{φ}}^{2}}{2} \end{aligned}

と得られる.

棒ABの慣性中心の座標 $(X, Y)$ は, 角度AOBを $φ$ として

\begin{aligned} (6) & X_{2} & = \frac{3 l}{2} \cos φ, \\ (7) & Y_{2} & = \frac{l}{2} \sin φ \end{aligned}

である. 時間微分して

\begin{aligned} (8) & {\dot{X}}_{2} & = - \frac{3 l \dot{φ}}{2} \sin φ, \\ (9) & {\dot{Y}}_{2} & = \frac{l \dot{φ}}{2} \cos φ \end{aligned}

となる. 角速度は棒OAと同じく $\dot{φ}$ であるから, 棒ABの運動エネルギーが

\begin{aligned} T_{2} & = \frac{μ}{2} ({\dot{X}}_{2}^{2} + {\dot{Y}}_{2}^{2}) + \frac{I {\dot{φ}}^{2}}{2} \\ (10) & = \frac{μ l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{8} (1 + 8 \sin^{2} φ) + \frac{I {\dot{φ}}^{2}}{2} \end{aligned}

と得られる.

以上を合わせると, 系の全運動エネルギーが

\begin{aligned} T & = T_{1} + T_{2} \\ (11) & = \frac{μ l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{8} (2 + 8 \sin^{2} φ) + I {\dot{φ}}^{2} \end{aligned}

が得られる. $I = μ l^{2} / 12$ (§32問題2のaを参照)を代入すれば,

\begin{aligned} T & = \frac{μ l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{8} (2 + 8 \sin^{2} φ) + \frac{μ l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{12} \\ (12) & = \frac{μ l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{3} (1 + 3 \sin^{2} φ) \end{aligned}

が得られる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.