ランダウ力学 §32問題4 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題4の解説です.

問題

図39に示すような系の運動エネルギーを見いだせ. OAおよびABは, 長さ$l$の細い一様な棒で, 点Aで蝶つがいによってつながれている. 棒OAは(図の平面内で)点Oのまわりに回転し, 棒ABの端Bは軸$x$にそってすべるものとする.

図39

解答作成

棒OAの慣性中心の座標$(X, Y)$は, 角度AOBを$\varphi$として

\begin{align} X_1 &= \frac{l}{2} \cos \varphi , \\ Y_1 &= \frac{l}{2} \sin \varphi \end{align}

である. 時間微分して

\begin{align} \dot{X}_1 &= - \frac{l \dot{\varphi}}{2} \sin \varphi , \\ \dot{Y}_1 &= \frac{l \dot{\varphi}}{2} \cos \varphi \end{align}

となる. 角速度は$\dot{\varphi}$であるから, 1本の棒の質量を$\mu$, 棒の慣性モーメントを$I$として, 棒OAの運動エネルギーが

\begin{align} T_1 &= \frac{\mu}{2} \left( \dot{X}_1^2 + \dot{Y}_1^2 \right) + \frac{I \dot{\varphi}^2}{2} \nonumber \\ &= \frac{\mu l^2 \dot{\varphi}^2}{8} + \frac{I \dot{\varphi}^2}{2} \end{align}

と得られる.

棒ABの慣性中心の座標$(X, Y)$は, 角度AOBを$\varphi$として

\begin{align} X_2 &= \frac{3l}{2} \cos \varphi , \\ Y_2 &= \frac{l}{2} \sin \varphi \end{align}

である. 時間微分して

\begin{align} \dot{X}_2 &= - \frac{3l \dot{\varphi}}{2} \sin \varphi , \\ \dot{Y}_2 &= \frac{l \dot{\varphi}}{2} \cos \varphi \end{align}

となる. 角速度は棒OAと同じく$\dot{\varphi}$であるから, 棒ABの運動エネルギーが

\begin{align} T_2 &= \frac{\mu}{2} \left( \dot{X}_2^2 + \dot{Y}_2^2 \right) + \frac{I \dot{\varphi}^2}{2} \nonumber \\ &= \frac{\mu l^2 \dot{\varphi}^2}{8} \left( 1 + 8 \sin^2 \varphi \right) + \frac{I \dot{\varphi}^2}{2} \end{align}

と得られる.

以上を合わせると, 系の全運動エネルギーが

\begin{align} T &= T_1 + T_2 \nonumber \\ &= \frac{\mu l^2 \dot{\varphi}^2}{8} \left( 2 + 8 \sin^2 \varphi \right) + I \dot{\varphi}^2 \end{align}

が得られる. $I = \mu l^2 / 12$(§32問題2のaを参照)を代入すれば,

\begin{align} T &= \frac{\mu l^2 \dot{\varphi}^2}{8} \left( 2 + 8 \sin^2 \varphi \right) + \frac{\mu l^2 \dot{\varphi}^2}{12} \nonumber \\ &= \frac{\mu l^2 \dot{\varphi}^2}{3} \left( 1 + 3 \sin^2 \varphi \right) \end{align}

が得られる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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