Riemannゼータ関数を用いた積分-Shinoryo's Weblog

こんにちは, Shinoryoです.

今回は完全に忘備録的なものです. ご容赦を…….

Riemannゼータ関数とは

Riemannゼータ関数(Riemann zeta function)とは,

\begin{array}{r} (1) & ζ (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}} \end{array}

である.

ガンマ関数(gamma function)とは,

\begin{array}{r} (2) & ζ (x) = \int_{0}^{\infty} d t e^{- t} t^{x - 1} \end{array}

である( $Re x > 0$ ). このガンマ関数について, 任意の自然数 $n$ について

\begin{array}{r} (3) & ζ (n + 1) = n! \end{array}

が成り立つ.

任意の自然数 $n$ に対して, $Γ (n + 1) ζ (n + 1)$ を計算すると,

\begin{aligned} Γ (n + 1) ζ (n + 1) & = \int_{0}^{\infty} d t \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{n + 1}} t^{n} e^{- t} \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} k d x \frac{1}{k^{n + 1}} {(k x)}^{n} e^{- t} \end{aligned}

となる. ここで, $t = k x$ の置換と無限等比級数の和の公式を用いると,

\begin{aligned} Γ (n + 1) ζ (n + 1) & = \int_{0}^{\infty} d x x^{n} \sum_{k = 1}^{\infty} e^{- k x} \\ = \int_{0}^{\infty} d x x^{n} \frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}} \\ = \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{x} - 1} \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{array}{r} (4) & \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{x} - 1} = Γ (n + 1) ζ (n + 1) \end{array}

という式が得られる. この式は, Bose-Einstein統計の積分などでよく用いられる.

また,

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{2 x} - 1} & = \frac{1}{2} (\int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{x} - 1} - \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{x} + 1}) \\ (5) & = \frac{1}{2} (Γ (n + 1) ζ (n + 1) - \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{x} + 1}) \end{aligned}

であるが, $(4)$ より, $u = 2 x$ の置換を行うと,

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{2 x} - 1} & = \frac{1}{2^{n}} \int_{0}^{\infty} d x \frac{{(2 x)}^{n}}{e^{2 x} - 1} \\ = \frac{1}{2^{n + 1}} \int_{0}^{\infty} d u \frac{u^{n}}{e^{u} - 1} \\ (6) & = \frac{1}{2^{n + 1}} Γ (n + 1) ζ (n + 1) \end{aligned}

となる. $(5)$ , $(6)$ より,

\begin{aligned} \frac{1}{2} (Γ (n + 1) ζ (n + 1) - \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{x} + 1}) & = \frac{1}{2^{n + 1}} Γ (n + 1) ζ (n + 1) \end{aligned}

となり, 整理すると

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{x} + 1} & = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n + 1}}) Γ (n + 1) ζ (n + 1) \\ = (1 - 2^{- n}) Γ (n + 1) ζ (n + 1) \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{array}{r} (7) & \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n}}{e^{x} + 1} = (1 - 2^{- n}) Γ (n + 1) ζ (n + 1) \end{array}

という式が得られる. この式は, Fermi-Dirac統計の積分などでよく用いられる.