こんにちは, Shinoryoです.
今回は完全に忘備録的なものです. ご容赦を…….
Riemannゼータ関数とは
Riemannゼータ関数(Riemann zeta function)とは,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\zeta (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}}
\end{align}
である.
ガンマ関数とは
ガンマ関数(gamma function)とは,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\zeta (x) = \int_0^\infty \mathrm{d}t \, e^{-t} t^{x-1}}
\end{align}
である($\mathrm{Re} \, x > 0$). このガンマ関数について, 任意の自然数$n$について
\begin{align}
\zeta (n+1) = n!
\end{align}
が成り立つ.
Riemannゼータ関数を用いた積分(1)
任意の自然数$n$に対して, $\Gamma (n+1) \zeta (n+1)$を計算すると,
\begin{align}
\Gamma (n+1) \zeta (n+1) &= \int_0^\infty \mathrm{d}t\, \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{n+1}} t^n e^{-t} \nonumber \\
&= \sum_{k=1}^\infty \int_0^\infty k\mathrm{d}x\, \frac{1}{k^{n+1}} \left( kx \right)^n e^{-t} \nonumber
\end{align}
となる. ここで, $t=kx$の置換と無限等比級数の和の公式を用いると,
\begin{align}
\Gamma (n+1) \zeta (n+1) &= \int_0^\infty \mathrm{d}x\, x^n \sum_{k=1}^\infty e^{-kx} \nonumber \\
&= \int_0^\infty \mathrm{d}x\, x^n \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} \nonumber \\
&= \int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^x-1} \nonumber
\end{align}
となる. したがって,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^x-1} = \Gamma (n+1) \zeta (n+1)} \label{eq_riemann_integral_1}
\end{align}
という式が得られる. この式は, Bose-Einstein統計の積分などでよく用いられる.
Riemannゼータ関数を用いた積分(2)
また,
\begin{align}
\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^{2x}-1} &= \frac{1}{2} \left( \int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^x-1} - \int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^x+1} \right) \nonumber \\
&= \frac{1}{2} \left( \Gamma (n+1) \zeta (n+1) - \int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^x+1} \right) \label{eq_riemann_integral_2}
\end{align}
であるが, \eqref{eq_riemann_integral_1}より, $u=2x$の置換を行うと,
\begin{align}
\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^{2x}-1} &= \frac{1}{2^n} \int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{\left( 2x \right)^n}{e^{2x}-1} \nonumber \\
&= \frac{1}{2^{n+1}} \int_0^\infty \mathrm{d}u\, \frac{u^n}{e^u-1} \nonumber \\
&= \frac{1}{2^{n+1}} \Gamma (n+1) \zeta (n+1) \label{eq_riemann_integral_3}
\end{align}
となる. \eqref{eq_riemann_integral_2}, \eqref{eq_riemann_integral_3}より,
\begin{align}
\frac{1}{2} \left( \Gamma (n+1) \zeta (n+1) - \int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^x+1} \right) &= \frac{1}{2^{n+1}} \Gamma (n+1) \zeta (n+1) \nonumber
\end{align}
となり, 整理すると
\begin{align}
\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^x+1} &= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}} \right) \Gamma (n+1) \zeta (n+1) \nonumber \\
&= \left( 1 - 2^{-n} \right) \Gamma (n+1) \zeta (n+1) \nonumber
\end{align}
となる. したがって,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{x^n}{e^x+1} = \left( 1 - 2^{-n} \right) \Gamma (n+1) \zeta (n+1)}
\end{align}
という式が得られる. この式は, Fermi-Dirac統計の積分などでよく用いられる.
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