ランダウ力学 §32問題1 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題1の解説です.

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1問題
2解答作成
3参考文献
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問題

分子を, 互いの距離が不変な粒子の系とみなして, 以下の場合について主慣性モーメントを定めよ：

1本の直線状にならんだ原子からなる分子.
2等辺3角形をした3原子分子(図36).
正3角錐の頂点に位置する原子からなる4原子分子(図37).

図36

図37

解答作成

$x_{3}$ 軸上に原子が並んでいるとすると, $I_{1} = I_{2} = I$ , $I_{3} = 0$ となる. 以下, $x_{3}$ 軸上の原子の位置を $x_{i}$ のように表す.
座標原点を分子の慣性中心に選ぶと,
$\begin{aligned} (1) & \sum_{a} m_{a} x_{a} & = 0 \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} (2) & {(\sum_{a} m_{a} x_{a})}^{2} & = \sum_{a} m_{a}^{2} x_{a}^{2} + 2 \sum_{a > b} m_{a} m_{b} x_{a} x_{b} = 0 \end{aligned}$
となる. したがって,
$\begin{aligned} (3) & \sum_{a} m_{a}^{2} x_{a}^{2} & = - 2 \sum_{a > b} m_{a} m_{b} x_{a} x_{b} \end{aligned}$
となる.
ここで, $(3)$ を用いると, (天下り的ではあるが)本編解答の式の右辺は
$\begin{aligned} \frac{1}{μ} \sum_{a > b} m_{a} m_{b} l_{a b}^{2} \\ = \frac{1}{μ} \sum_{a > b} m_{a} m_{b} {(x_{a} - x_{b})}^{2} \\ = \frac{1}{μ} (\sum_{a > b} m_{a} m_{b} x_{a}^{2} + \sum_{a > b} m_{a} m_{b} x_{b}^{2} - 2 \sum_{a > b} m_{a} m_{b} x_{a} x_{b}) \\ (4) & = \frac{1}{μ} (\sum_{a > b} m_{a} m_{b} x_{a}^{2} + \sum_{a > b} m_{a} m_{b} x_{b}^{2} + \sum_{a} m_{a}^{2} x_{a}^{2}) \end{aligned}$
となる. ここで, ある $a$ に対して $m_{a} x_{a}^{2}$ の係数の質量 $m_{b}$ を見てみると,
- $a$ より小さい番号 $b < a$ の質量 $m_{b}$ は第2項より
- $a$ と同じ番号 $b = a$ の質量 $m_{b}$ は第3項より
- $a$ より大きい番号 $b > a$ の質量 $m_{b}$ は第1項より
出現することがわかる. ゆえに,
$\begin{aligned} \frac{1}{μ} \sum_{a > b} m_{a} m_{b} l_{a b}^{2} & = \frac{1}{μ} \sum_{a} (\sum_{b} m_{b}) m_{a} x_{a}^{2} \\ (5) & = \sum_{a} m_{a} x_{a}^{2} \end{aligned}$
となる( $μ$ は系全体の質量 $\sum_{b} m_{b}$ に等しいことに注意せよ). これは, 主慣性モーメント $I = I_{1} = I_{2}$ そのものである.
図のように $x_{1}$ 軸, $x_{2}$ 軸をとる(底辺(等しい2辺とはことなる辺)の長さが $a$ , 高さが $h$ ). 3つの原子すべてにおいて $x_{3} = 0$ であるから,
$\begin{aligned} (6) & I_{1} & = \sum_{a} m_{a} x_{2, a}^{2}, \\ (7) & I_{2} & = \sum_{a} m_{a} x_{1, a}^{2}, \\ (8) & I_{3} & = I_{1} + I_{2} \end{aligned}$
となる(本編での対称面がある場合の議論も参照).
各原子の座標は, 質量 $m_{1}$ を有するものが $(a / 2, 0)$ と $(- a / 2, 0)$ , 質量 $m_{2}$ を有するものが $(0, h)$ である. 慣性モーメントテンソルの類似のテンソルは
$\begin{aligned} (9) & I_{1}^{'} & = m_{2} h^{2}, \\ (10) & I_{2}^{'} & = \frac{m_{1} a^{2}}{2} \end{aligned}$
となる. ここで, 慣性中心の位置 $(X, Y)$ を確認すると,
$\begin{aligned} (11) & X & = 0, \\ (12) & Y & = \frac{m_{2} h}{2 m_{1} + m_{2}} \end{aligned}$
となる. 本編での公式
$\begin{aligned} (32.12) & I_{i k}^{'} & = I_{i k} + μ (a^{2} δ_{i k} - a_{i} a_{k}) \end{aligned}$
を利用すれば,
$\begin{aligned} I_{1} & = I_{1}^{'} - (2 m_{1} + m_{2}) {(\frac{m_{2} h}{2 m_{1} + m_{2}})}^{2} \\ = m_{2} h^{2} - \frac{m_{2}^{2} h^{2}}{2 m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{(2 m_{1} + m_{2}) m_{2} h^{2} - m_{2}^{2} h^{2}}{2 m_{1} + m_{2}} \\ (13) & = \frac{2 m_{1} m_{2} h^{2}}{2 m_{1} + m_{2}}, \\ I_{2} & = I_{2}^{'} - (2 m_{1} + m_{2}) {{(\frac{m_{2} h}{2 m_{1} + m_{2}})}^{2} - {(\frac{m_{2} h}{2 m_{1} + m_{2}})}^{2}} \\ (14) & = \frac{m_{1} a^{2}}{2} \end{aligned}$
となる.
図のように $x_{1}$ 軸, $x_{2}$ 軸, $x_{3}$ 軸をとる(底面の正三角形の辺の長さが $a$ , 正三角錐の高さが $h$ ). $x_{1}$ 軸と $x_{2}$ 軸の交点は正三角形の底辺から $\sqrt{3} a / 6$ の位置にあり( $x_{3}$ 軸を考慮しない正三角錐の慣性中心に合わせている), 質量 $m_{1}$ を持つ原子の座標はそれぞれ $(a / 2, - \sqrt{3} a / 6, 0)$ , $(- a / 2, - \sqrt{3} a / 6, 0)$ , $(0, \sqrt{3} a / 3, 0)$ である. そして, 質量 $m_{2}$ をもつ原子の座標は $(0, 0, h)$ である. 慣性モーメントテンソルの類似のテンソルは
$\begin{aligned} (15) & I_{1}^{'} & = \frac{m_{1} a^{2}}{2} + m_{2} h^{2}, \\ (16) & I_{2}^{'} & = \frac{m_{1} a^{2}}{2} + m_{2} h^{2}, \\ (17) & I_{3}^{'} & = m_{1} a^{2} \end{aligned}$
ここで, 慣性中心の位置を確認すると,
$\begin{aligned} (18) & X_{1} & = 0, \\ (19) & X_{2} & = 0, \\ (20) & X_{3} & = \frac{m_{2} h}{3 m_{1} + m_{2}} \end{aligned}$
となる. 本編での公式 $(32.12)$ を利用すれば,
$\begin{aligned} I_{1} & = I_{1}^{'} - (3 m_{1} + m_{2}) {(\frac{m_{2} h}{3 m_{1} + m_{2}})}^{2} \\ = \frac{m_{1} a^{2}}{2} + m_{2} h^{2} - \frac{m_{2}^{2} h^{2}}{3 m_{1} + m_{2}} \\ (21) & = \frac{3 m_{1} m_{2} h^{2}}{3 m_{1} + m_{2}} + \frac{m_{1} a^{2}}{2}, \\ I_{2} & = I_{2}^{'} - (3 m_{1} + m_{2}) {(\frac{m_{2} h}{3 m_{1} + m_{2}})}^{2} \\ = \frac{m_{1} a^{2}}{2} + m_{2} h^{2} - \frac{m_{2}^{2} h^{2}}{3 m_{1} + m_{2}} \\ (22) & = \frac{3 m_{1} m_{2} h^{2}}{3 m_{1} + m_{2}} + \frac{m_{1} a^{2}}{2}, \\ I_{3} & = I_{3}^{'} - (3 m_{1} + m_{2}) {{(\frac{m_{2} h}{3 m_{1} + m_{2}})}^{2} - {(\frac{m_{2} h}{3 m_{1} + m_{2}})}^{2}} \\ (23) & = m_{1} a^{2} \end{aligned}$
となる.