ランダウ力学 §32問題1 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題1の解説です.

問題

図36

図37

解答作成

1. $x_3$軸上に原子が並んでいるとすると, $I_1 = I_2 = I$, $I_3 = 0$となる. 以下, $x_3$軸上の原子の位置を$x_i$のように表す.
   座標原点を分子の慣性中心に選ぶと,
   \begin{align} \sum_a m_a x_a &= 0 \end{align}
   であるから,
   \begin{align} \left( \sum_a m_a x_a \right)^2 &= \sum_a m_a^2 x_a^2 + 2 \sum_{a > b} m_a m_b x_a x_b = 0 \end{align}
   となる. したがって,
   \begin{align} \sum_a m_a^2 x_a^2 &= - 2 \sum_{a>b} m_a m_b x_a x_b \label{eq_32-1-ex1} \end{align}
   となる.
   ここで, \eqref{eq_32-1-ex1}を用いると, (天下り的ではあるが)本編解答の式の右辺は
   \begin{align} &\quad \frac{1}{\mu} \sum_{a > b} m_a m_b l_{ab}^2 \nonumber \\ &= \frac{1}{\mu} \sum_{a > b} m_a m_b \left( x_a - x_b \right)^2 \nonumber \\ &= \frac{1}{\mu} \left( \sum_{a > b} m_a m_b x_a^2 + \sum_{a > b} m_a m_b x_b^2 - 2 \sum_{a > b} m_a m_b x_a x_b \right) \nonumber \\ &= \frac{1}{\mu} \left( \sum_{a > b} m_a m_b x_a^2 + \sum_{a > b} m_a m_b x_b^2 + \sum_a m_a^2 x_a^2 \right) \end{align}
   となる. ここで, ある$a$に対して$m_a x_a^2$の係数の質量$m_b$を見てみると,
   • $a$より小さい番号$b < a$の質量$m_b$は第2項より
   • $a$と同じ番号$b = a$の質量$m_b$は第3項より
   • $a$より大きい番号$b > a$の質量$m_b$は第1項より
   出現することがわかる. ゆえに,
   \begin{align} \frac{1}{\mu} \sum_{a > b} m_a m_b l_{ab}^2 &= \frac{1}{\mu} \sum_a \left( \sum_b m_b \right) m_a x_a^2 \nonumber \\ &= \sum_a m_a x_a^2 \end{align}
   となる($\mu$は系全体の質量$\sum_b m_b$に等しいことに注意せよ). これは, 主慣性モーメント$I = I_1 = I_2$そのものである.
   
   
2. 図のように$x_1$軸, $x_2$軸をとる(底辺(等しい2辺とはことなる辺)の長さが$a$, 高さが$h$). 3つの原子すべてにおいて$x_3 = 0$であるから,
   \begin{align} I_1 &= \sum_a m_a x_{2,a}^2 , \\ I_2 &= \sum_a m_a x_{1,a}^2 , \\ I_3 &= I_1 + I_2 \end{align}
   となる(本編での対称面がある場合の議論も参照).
   各原子の座標は, 質量$m_1$を有するものが$(a/2 , 0)$と$(-a/2 , 0)$, 質量$m_2$を有するものが$(0, h)$である. 慣性モーメントテンソルの類似のテンソルは
   \begin{align} I_1^\prime &= m_2 h^2 , \\ I_2^\prime &= \frac{m_1 a^2}{2} \end{align}
   となる. ここで, 慣性中心の位置$(X, Y)$を確認すると,
   \begin{align} X &= 0 , \\ Y &= \frac{m_2 h}{2m_1 + m_2} \end{align}
   となる. 本編での公式
   \begin{align} I_{ik}^\prime &= I_{ik} + \mu \left( a^2 \delta_{ik} - a_i a_k \right) \tag{32.12} \label{eq_32-12} \end{align}
   を利用すれば,
   \begin{align} I_1 &= I_1^\prime - \left( 2m_1 + m_2 \right) \left( \frac{m_2 h}{2m_1 + m_2} \right)^2 \nonumber \\ &= m_2 h^2 - \frac{m_2^2 h^2}{2m_1 + m_2} \nonumber \\ &= \frac{\left( 2m_1 + m_2 \right) m_2 h^2 - m_2^2 h^2}{2m_1 + m_2} \nonumber \\ &= \frac{2 m_1 m_2 h^2}{2m_1 + m_2} , \\ I_2 &= I_2^\prime - \left( 2m_1 + m_2 \right) \left\{ \left( \frac{m_2 h}{2m_1 + m_2} \right)^2 - \left( \frac{m_2 h}{2m_1 + m_2} \right)^2 \right\} \nonumber \\ &= \frac{m_1 a^2}{2} \end{align}
   となる.
   
   
3. 図のように$x_1$軸, $x_2$軸, $x_3$軸をとる(底面の正三角形の辺の長さが$a$, 正三角錐の高さが$h$). $x_1$軸と$x_2$軸の交点は正三角形の底辺から$\sqrt{3} a / 6$の位置にあり($x_3$軸を考慮しない正三角錐の慣性中心に合わせている), 質量$m_1$を持つ原子の座標はそれぞれ$(a / 2, - \sqrt{3} a / 6, 0)$, $(- a / 2, - \sqrt{3} a / 6, 0)$, $(0, \sqrt{3} a / 3, 0)$である. そして, 質量$m_2$をもつ原子の座標は$(0, 0, h)$である. 慣性モーメントテンソルの類似のテンソルは
   \begin{align} I_1^\prime &= \frac{m_1 a^2}{2} + m_2 h^2 , \\ I_2^\prime &= \frac{m_1 a^2}{2} + m_2 h^2 , \\ I_3^\prime &= m_1 a^2 \end{align}
   ここで, 慣性中心の位置を確認すると,
   \begin{align} X_1 &= 0 , \\ X_2 &= 0 , \\ X_3 &= \frac{m_2 h}{3m_1 + m_2} \end{align}
   となる. 本編での公式\eqref{eq_32-12}を利用すれば,
   \begin{align} I_1 &= I_1^\prime - \left( 3m_1 + m_2 \right) \left( \frac{m_2 h}{3m_1 + m_2} \right)^2 \nonumber \\ &= \frac{m_1 a^2}{2} + m_2 h^2 - \frac{m_2^2 h^2}{3m_1 + m_2} \nonumber \\ &= \frac{3 m_1 m_2 h^2}{3m_1 + m_2} + \frac{m_1 a^2}{2} , \\ I_2 &= I_2^\prime - \left( 3m_1 + m_2 \right) \left( \frac{m_2 h}{3m_1 + m_2} \right)^2 \nonumber \\ &= \frac{m_1 a^2}{2} + m_2 h^2 - \frac{m_2^2 h^2}{3m_1 + m_2} \nonumber \\ &= \frac{3 m_1 m_2 h^2}{3m_1 + m_2} + \frac{m_1 a^2}{2} , \\ I_3 &= I_3^\prime - \left( 3m_1 + m_2 \right) \left\{ \left( \frac{m_2 h}{3m_1 + m_2} \right)^2 - \left( \frac{m_2 h}{3m_1 + m_2} \right)^2 \right\} \nonumber \\ &= m_1 a^2 \end{align}
   となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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