ランダウ力学 §40問題3 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§40の問題3の解説です.

問題

質量

M

の1質点と質量

m

の

n

個の質点とからなる系のHamiltonianを, 慣性中心の運動を消去した形で, 求めよ.

Lagrangianは§13問題で求めていて,

\begin{aligned} (1) & L & = \frac{m}{2} \sum_{a} v_{a}^{2} - \frac{m^{2}}{2 (M + n m)} {(\sum_{a} v_{a})}^{2} - U \end{aligned}

である. よって, エネルギーは,

\begin{aligned} (2) & E & = \frac{m}{2} \sum_{a} v_{a}^{2} - \frac{m^{2}}{2 (M + n m)} {(\sum_{a} v_{a})}^{2} + U \end{aligned}

となる.

一方, 一般運動量は

\begin{aligned} p_{a} & = \frac{\partial L}{\partial v_{a}} \\ (3) & = m v_{a} - \frac{m^{2}}{M + n m} \sum_{b} v_{b} \end{aligned}

となる. これを全ての $a$ について和をとれば,

\begin{aligned} \sum_{a} p_{a} & = m \sum_{a} v_{a} - \frac{n m^{2}}{M + n m} \sum_{b} v_{b} \\ = (\frac{m (M + n m)}{M + n m} - \frac{n m^{2}}{M + n m}) \sum_{a} v_{a} \\ (4) & = \frac{m M}{M + n m} \sum_{a} v_{a} \end{aligned}

であるから,

\begin{aligned} p_{a} & = m v_{a} - \frac{m^{2}}{M + n m} \frac{M + n m}{m M} \sum_{b} p_{b} \\ (5) & = m v_{a} - \frac{m}{M} \sum_{b} p_{b} \end{aligned}

となり, $v_{a}$ に関して整理して,

\begin{aligned} (6) & v_{a} & = \frac{p_{a}}{m} + \frac{1}{M} \sum_{b} p_{b} \end{aligned}

となる.

$(2)$ , $(6)$ より, Hamiltonianは,

\begin{aligned} H & = \frac{m}{2} \sum_{a} {(\frac{p_{a}}{m} + \frac{1}{M} \sum_{b} p_{b})}^{2} \\ - \frac{m^{2}}{2 (M + n m)} \frac{{(M + n m)}^{2}}{m^{2} M^{2}} {(\sum_{a} p_{a})}^{2} + U \\ = \frac{1}{2 m} \sum_{a} p_{a}^{2} + \frac{1}{M} {(\sum_{a} p_{a})}^{2} \\ + \frac{n m}{2 M^{2}} {(\sum_{a} p_{a})}^{2} - \frac{M + n m}{2 M^{2}} {(\sum_{a} p_{a})}^{2} + U \\ (7) & = \frac{1}{2 m} \sum_{a} p_{a}^{2} + \frac{1}{2 M} {(\sum_{a} p_{a})}^{2} + U \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.