ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§30の問題2の解説です.
問題
問題1は次の通り.
解答作成
§5問題3で得られたLagrangianは,
である. これから得られる運動方程式から, 変動する力は
となる. また, 量$x$として角度$\varphi$($-\pi < \varphi \leq \pi$)をとることにすれば, 系の運動エネルギーの係数は$ml^2$となる. ゆえに, 有効ポテンシャルエネルギーは
より,
となる.
これを$\varphi$で微分すると,
となるから, これが$0$になるような点は$\varphi = 0, \pi$と, $\cos \varphi = 2gl / a^2 \gamma^2$を満たす$\varphi$である(最後のは$a^2 \gamma^2 > 2gl$の場合に限る). $\cos \varphi = 2gl / a^2 \gamma^2$を満たす$\varphi$の, $0 < \varphi < \pi$の範囲にあるものを$\varphi_1$とする.
- $a^2 \gamma^2 < 2gl$の場合, 有効ポテンシャルエネルギーの増減表は表1のようになる.
表1 $U$の増減表($a^2 \gamma^2 < 2gl$) $\varphi$ $-\pi$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $\pi$ $\mathrm{d}U / \mathrm{d}\varphi$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$ $U$ $\searrow$ $\nearrow$ - $a^2 \gamma^2 > 2gl$の場合, 有効ポテンシャルエネルギーの増減表は表2のようになる.
表2 $U$の増減表($a^2 \gamma^2 > 2gl$) $\varphi$ $-\pi$ $\cdots$ $- \varphi_1$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $\varphi_1$ $\cdots$ $\pi$ $\mathrm{d}U / \mathrm{d}\varphi$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$ $U$ $\searrow$ $\nearrow$ $\searrow$ $\nearrow$
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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