ランダウ力学 §32問題5 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題5の解説です.

問題

平面上をころがる円柱(半径

R

)の運動エネルギーを見いだせ. 円柱の質量は, 慣性中心の1つが円柱の軸に平行で, それから

a

だけ離れたところを通るようなぐあいに, 体積分布しているものとする. この主軸に関する慣性モーメントを

I

とする.

図40

並進運動のエネルギーと回転運動のエネルギーに分けて考える.

円柱の軸に平行な回転主軸から円柱軸に引いた垂線(図40において長さを $a$ としているもの)と鉛直軸(図40において長さを $R$ としているもの)の間の角度を $φ$ とする. この角度は, 円柱が転がっていくにつれて変化する.

さて, 並進運動を瞬間的に考えると, 円柱と平面の接線を回転軸とした回転運動と考えられる. その回転運動の角速度は, 円柱自体の角速度と同じ $\dot{φ}$ である.

慣性中心は円柱と平面の接線から $\sqrt{a^{2} + R^{2} - 2 a R \cos φ}$ だけ離れている(余弦定理より)から, 慣性中心の運動の速さは

\begin{aligned} (1) & V & = \dot{φ} \sqrt{a^{2} + R^{2} - 2 a R \cos φ} \end{aligned}

である. 円柱の質量を $μ$ とすれば, 並進運動の運動エネルギーは

\begin{aligned} (2) & T_{並進} & = \frac{μ}{2} V^{2} = \frac{μ {\dot{φ}}^{2}}{2} (a^{2} + R^{2} - 2 a R \cos φ) \end{aligned}

となる.

続いて, 回転運動のエネルギーについて考える. 円柱の軸に平行な回転主軸に関する慣性モーメントが $I$ と与えられている. また, 円柱自体の角速度は $\dot{φ}$ である. ゆえに, 回転運動の運動エネルギーは

\begin{aligned} (3) & T_{回転} & = \frac{I {\dot{φ}}^{2}}{2} \end{aligned}

である.

以上から, 求める運動エネルギーは,

\begin{aligned} (4) & T & = \frac{μ {\dot{φ}}^{2}}{2} (a^{2} + R^{2} - 2 a R \cos φ) + \frac{I {\dot{φ}}^{2}}{2} \end{aligned}

である.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.