ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§40の問題1の解説です.
問題
1個の質点のHamiltonianを, それぞれデカルト座標, 円柱座標, 球座標で求めよ.
解答作成
本編で1個の自由な質点のデカルト座標, 円柱座標, 球座標でのLagrangianは求めていて, これにポテンシャルエネルギーを付加することで, Lagrangianは
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
L &= \frac{m}{2} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) - U(x,y,z) , \\
L &= \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \right) - U(r,\theta,z) , \\
L &= \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \cdot \dot{\varphi}^2 \right) - U(r,\theta,\varphi)
\end{aligned}
\right. \nonumber
\end{align}
となり, エネルギーは
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
E &= \frac{m}{2} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) + U(x,y,z) , \\
E &= \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \right) + U(r,\theta,z) , \\
E &= \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \cdot \dot{\varphi}^2 \right) + U(r,\theta,\varphi)
\end{aligned}
\right. \label{eq_40-1e1}
\end{align}
となる.
系のエネルギーが座標と運動量とで表されているとき, 系のHamiltonianという. よって, $\dot{q}$を$q$, $p$で表さなくてはならない. 一般運動量は
\begin{align}
p_i &= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \tag{7.5}
\end{align}
であるから, デカルト座標では
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
p_x &= \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} , \\
p_y &= \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = m \dot{y} , \\
p_z &= \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m \dot{z}
\end{aligned}
\right. \label{eq_40-1e2}
\end{align}
となり, 円柱座標では
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
p_r &= \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r} , \\
p_\theta &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2 \dot{\theta} , \\
p_z &= \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m \dot{z}
\end{aligned}
\right. \label{eq_40-1e3}
\end{align}
となり, 球座標では
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
p_r &= \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r} , \\
p_\theta &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2 \dot{\theta} , \\
p_\varphi &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = mr^2 \sin^2 \theta \cdot \dot{\varphi}
\end{aligned}
\right. \label{eq_40-1e4}
\end{align}
となる.
以上からHamiltonianを求める. \eqref{eq_40-1e1}, \eqref{eq_40-1e2}より, デカルト座標におけるHamiltonianは,
\begin{align}
H &= \frac{1}{2m} \left( p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 \right) + U(x,y,z)
\end{align}
となる. また, \eqref{eq_40-1e1}, \eqref{eq_40-1e3}より, 円柱座標におけるHamiltonianは,
\begin{align}
H &= \frac{1}{2m} \left( p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + p_z^2 \right) + U(r,\theta,z)
\end{align}
となる. また, \eqref{eq_40-1e1}, \eqref{eq_40-1e4}より, 球座標におけるHamiltonianは,
\begin{align}
H &= \frac{1}{2m} \left( p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2 \sin^2 \theta} \right) + U(r,\theta,\varphi)
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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