ランダウ力学 §40問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§40の問題1の解説です.

問題

1個の質点のHamiltonianを, それぞれデカルト座標, 円柱座標, 球座標で求めよ.

本編で1個の自由な質点のデカルト座標, 円柱座標, 球座標でのLagrangianは求めていて, これにポテンシャルエネルギーを付加することで, Lagrangianは

\begin{array}{r} {\begin{aligned} L & = \frac{m}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - U (x, y, z), \\ L & = \frac{m}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - U (r, θ, z), \\ L & = \frac{m}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2} + r^{2} \sin^{2} θ \cdot {\dot{φ}}^{2}) - U (r, θ, φ) \end{aligned} \end{array}

となり, エネルギーは

\begin{array}{r} (1) & {\begin{aligned} E & = \frac{m}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) + U (x, y, z), \\ E & = \frac{m}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) + U (r, θ, z), \\ E & = \frac{m}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2} + r^{2} \sin^{2} θ \cdot {\dot{φ}}^{2}) + U (r, θ, φ) \end{aligned} \end{array}

となる.

系のエネルギーが座標と運動量とで表されているとき, 系のHamiltonianという. よって, $\dot{q}$ を $q$ , $p$ で表さなくてはならない. 一般運動量は

\begin{aligned} (7.5) & p_{i} & = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} \end{aligned}

であるから, デカルト座標では

\begin{array}{r} (2) & {\begin{aligned} p_{x} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}, \\ p_{y} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = m \dot{y}, \\ p_{z} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m \dot{z} \end{aligned} \end{array}

となり, 円柱座標では

\begin{array}{r} (3) & {\begin{aligned} p_{r} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r}, \\ p_{θ} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} = m r^{2} \dot{θ}, \\ p_{z} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m \dot{z} \end{aligned} \end{array}

となり, 球座標では

\begin{array}{r} (4) & {\begin{aligned} p_{r} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r}, \\ p_{θ} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} = m r^{2} \dot{θ}, \\ p_{φ} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{φ}} = m r^{2} \sin^{2} θ \cdot \dot{φ} \end{aligned} \end{array}

となる.

以上からHamiltonianを求める. $(1)$ , $(2)$ より, デカルト座標におけるHamiltonianは,

\begin{aligned} (5) & H & = \frac{1}{2 m} (p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}) + U (x, y, z) \end{aligned}

となる. また, $(1)$ , $(3)$ より, 円柱座標におけるHamiltonianは,

\begin{aligned} (6) & H & = \frac{1}{2 m} (p_{r}^{2} + \frac{p_{θ}^{2}}{r^{2}} + p_{z}^{2}) + U (r, θ, z) \end{aligned}

となる. また, $(1)$ , $(4)$ より, 球座標におけるHamiltonianは,

\begin{aligned} (7) & H & = \frac{1}{2 m} (p_{r}^{2} + \frac{p_{θ}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{φ}^{2}}{r^{2} \sin^{2} θ}) + U (r, θ, φ) \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.