ランダウ力学 §32問題2 円錐に関する計算-Shinoryo's Weblog

Chuk YongによるPixabay(https://pixabay.com/)からの画像

こんにちは, Shinoryoです.

今回は完全に忘備録的なものです. ご容赦を…….

ランダウ力学§32問題2で登場した円錐に関する計算

ここでは, 高さ$h$, 底面の半径$R$の一様な円錐を考え, その慣性中心の位置を見出していく.

慣性中心の計算

円錐の頂点を原点とする座標系で, 円錐の軸を$x_3$軸に合わせる. 離散系における慣性中心$\bm{R}$は

\begin{align} \bm{R} &= \frac{\sum m_a \bm{r}_a}{\sum m_a} \tag{8.3} \end{align}

であるから, 連続系における慣性中心は

\begin{align} \bm{R} &= \frac{\int \rho \bm{r} \, \mathrm{d}V}{\int \rho \, \mathrm{d}V} \end{align}

である. いま, 一様な円錐を考えれば$\rho = \mathrm{const}$であるから,

\begin{align} \bm{R} &= \frac{\int \bm{r} \, \mathrm{d}V}{\int \mathrm{d}V} \end{align}

となる.

円錐内の体積積分の計算

円筒座標に座標変換して積分すると, $\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 = r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$となる. 円錐を$x_3 = z$の平面で切ったときの断面は半径$Rz / h$の円になることを利用すると,

\begin{align} \int \mathrm{d}V &= \int_0^h \mathrm{d}z \left( \int_0^{Rz / h} \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \, r \right) \nonumber \\ &= 2 \pi \int_0^h \mathrm{d}z \, \frac{R^2 z^2}{2 h^2} \nonumber \\ &= \frac{\pi R^2 h}{3} \end{align}

となる. また,

\begin{align} \int x \mathrm{d}V &= \int_0^h \mathrm{d}z \left( \int_0^{Rz / h} \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \, r^2 \cos \theta \right) \nonumber \\ &= 0 , \\ \int y \mathrm{d}V &= \int_0^h \mathrm{d}z \left( \int_0^{Rz / h} \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \, r^2 \sin \theta \right) \nonumber \\ &= 0 \end{align}

となり(いま慣性中心を求めようとしていることに注意すると, 一様な円錐の対称性より$x = y = 0$となるのは明らかであろう),

\begin{align} \int z \mathrm{d}V &= \int_0^h \mathrm{d}z z \left( \int_0^{Rz / h} \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \, r \right) \nonumber \\ &= 2 \pi \int_0^h \mathrm{d}z \, \frac{R^2 z^3}{2 h^2} \nonumber \\ &= \frac{\pi R^2 h^2}{4} \end{align}

となる.

積分の計算結果の代入

以上の積分の結果を用いると,

\begin{align} \bm{R} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3h / 4 \end{pmatrix} \end{align}

を得る. つまり, 円錐の慣性中心は円錐の軸の上, 頂点から距離$3h / 4$のところにある.

ランダウ力学 §32問題2 円錐に関する計算

ランダウ力学§32問題2で登場した円錐に関する計算

慣性中心の計算

円錐内の体積積分の計算

積分の計算結果の代入

関連記事

0 件のコメント:

コメントを投稿 (Please feel free to ask me about your questions! You can use Japanese or English in the comments.)

Search

About Me

Labels

Blog Archives

Twitter