ランダウ力学 §32問題2 円錐に関する計算-Shinoryo's Weblog

こんにちは, Shinoryoです.

今回は完全に忘備録的なものです. ご容赦を…….

ランダウ力学§32問題2で登場した円錐に関する計算

ここでは, 高さ $h$ , 底面の半径 $R$ の一様な円錐を考え, その慣性中心の位置を見出していく.

円錐の頂点を原点とする座標系で, 円錐の軸を $x_{3}$ 軸に合わせる. 離散系における慣性中心 $R$ は

\begin{aligned} (8.3) & R & = \frac{\sum m_{a} r_{a}}{\sum m_{a}} \end{aligned}

であるから, 連続系における慣性中心は

\begin{aligned} (1) & R & = \frac{\int ρ r d V}{\int ρ d V} \end{aligned}

である. いま, 一様な円錐を考えれば $ρ = const$ であるから,

\begin{aligned} (2) & R & = \frac{\int r d V}{\int d V} \end{aligned}

となる.

円筒座標に座標変換して積分すると, $d x_{1} d x_{2} d x_{3} = r d r d θ d z$ となる. 円錐を $x_{3} = z$ の平面で切ったときの断面は半径 $R z / h$ の円になることを利用すると,

\begin{aligned} \int d V & = \int_{0}^{h} d z (\int_{0}^{R z / h} d r \int_{0}^{2 π} d θ r) \\ = 2 π \int_{0}^{h} d z \frac{R^{2} z^{2}}{2 h^{2}} \\ (3) & = \frac{π R^{2} h}{3} \end{aligned}

となる. また,

\begin{aligned} \int x d V & = \int_{0}^{h} d z (\int_{0}^{R z / h} d r \int_{0}^{2 π} d θ r^{2} \cos θ) \\ (4) & = 0, \\ \int y d V & = \int_{0}^{h} d z (\int_{0}^{R z / h} d r \int_{0}^{2 π} d θ r^{2} \sin θ) \\ (5) & = 0 \end{aligned}

となり(いま慣性中心を求めようとしていることに注意すると, 一様な円錐の対称性より $x = y = 0$ となるのは明らかであろう),

\begin{aligned} \int z d V & = \int_{0}^{h} d z z (\int_{0}^{R z / h} d r \int_{0}^{2 π} d θ r) \\ = 2 π \int_{0}^{h} d z \frac{R^{2} z^{3}}{2 h^{2}} \\ (6) & = \frac{π R^{2} h^{2}}{4} \end{aligned}

となる.

以上の積分の結果を用いると,

\begin{aligned} (7) & R & = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 h / 4 \end{array}) \end{aligned}

を得る. つまり, 円錐の慣性中心は円錐の軸の上, 頂点から距離 $3 h / 4$ のところにある.