こんにちは, Shinoryoです.
今回は完全に忘備録的なものです. ご容赦を…….
ランダウ力学§52問題で登場した積分の1つ目
積分の概要
ランダウ力学§52問題で登場した積分の1つ目は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\int \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x = \tan^{-1} x}
\end{align}
である.
積分の計算
$x = \tan \theta$の置換を用いると,
\begin{align}
\int \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x &= \int \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \frac{1}{\cos^2 \theta} \, \mathrm{d} \theta \nonumber \\
&= \int \mathrm{d}\theta \nonumber \\ &= \theta \nonumber \\ &= \tan^{-1} x
\end{align}
が得られる.
ランダウ力学§52問題で登場した積分の2つ目
積分の概要
ランダウ力学§52問題で登場した積分の2つ目は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\int \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left( \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2} \right)}
\end{align}
である.
積分の計算
ここで,
\begin{align}
\int \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x &= \int \frac{\left( x \right)^\prime}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x
\end{align}
として部分積分をすると,
\begin{align}
\int \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x &= \frac{x}{1 + x^2} + 2 \int \frac{x^2}{\left( 1 + x^2 \right)^2} \, \mathrm{d}x \nonumber \\
&= \frac{x}{1 + x^2} + 2 \int \frac{x^2 + 1 - 1}{\left( 1 + x^2 \right)^2} \, \mathrm{d}x \nonumber \\
&= \frac{x}{1 + x^2} + 2 \int \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x - 2 \int \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^2} \, \mathrm{d}x
\end{align}
となる. ゆえに,
\begin{align}
2 \int \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^2} \, \mathrm{d}x &= \int \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x + \frac{x}{1 + x^2} \nonumber \\
&= \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}
\end{align}
となる. したがって,
\begin{align}
\int \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^2} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2} \left( \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2} \right)
\end{align}
が得られる.
ランダウ力学§52問題で登場した積分の3つ目
積分の概要
ランダウ力学§52問題で登場した積分の3つ目は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\int \frac{1}{\left( 1 - e \right) + \left( 1 + e \right) x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{ 1 - e^2}} \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} x \right)}
\end{align}
である.
積分の計算
計算すると,
\begin{align}
\int \frac{1}{\left( 1 - e \right) + \left( 1 + e \right) x^2} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{1 + e} \int \frac{1}{\frac{1 - e}{1 + e} + x^2} \, \mathrm{d}x
\end{align}
となる. ここで, $x = \sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \tan \theta$の置換を用いると,
\begin{align}
&\quad \int \frac{1}{\left( 1 - e \right) + \left( 1 + e \right) x^2} \, \mathrm{d}x \nonumber \\
&= \frac{1}{1 + e} \int \frac{1 + e}{1 - e} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \frac{1}{\cos^2 \theta} \, \mathrm{d}\theta \nonumber \\
&= \frac{1}{\sqrt{1 - e^2}} \int \mathrm{d}\theta \nonumber \\
&= \frac{1}{\sqrt{1 - e^2}} \theta \nonumber \\
&= \frac{1}{\sqrt{1 - e^2}} \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} x \right)
\end{align}
が得られる.
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