ランダウ力学 §52問題積分の計算-Shinoryo's Weblog

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こんにちは, Shinoryoです.

今回は完全に忘備録的なものです. ご容赦を…….

1ランダウ力学§52問題で登場した積分の1つ目
- 1.1積分の概要
- 1.2積分の計算
2ランダウ力学§52問題で登場した積分の2つ目
- 2.1積分の概要
- 2.2積分の計算
3ランダウ力学§52問題で登場した積分の3つ目
- 3.1積分の概要
- 3.2積分の計算
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ランダウ力学§52問題で登場した積分の1つ目

積分の概要

\begin{array}{r} (1) & \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \tan^{- 1} x \end{array}

である.

積分の計算

$x = \tan θ$ の置換を用いると,

\begin{aligned} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x & = \int \frac{1}{1 + \tan^{2} θ} \frac{1}{\cos^{2} θ} d θ \\ = \int d θ \\ = θ \\ (2) & = \tan^{- 1} x \end{aligned}

が得られる.

ランダウ力学§52問題で登場した積分の2つ目

積分の概要

ランダウ力学§52問題で登場した積分の2つ目は

\begin{array}{r} (3) & \int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x = \frac{1}{2} (\tan^{- 1} x + \frac{x}{1 + x^{2}}) \end{array}

である.

積分の計算

ここで,

\begin{aligned} (4) & \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x & = \int \frac{{(x)}^{'}}{1 + x^{2}} d x \end{aligned}

として部分積分をすると,

\begin{aligned} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x & = \frac{x}{1 + x^{2}} + 2 \int \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x \\ = \frac{x}{1 + x^{2}} + 2 \int \frac{x^{2} + 1 - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x \\ (5) & = \frac{x}{1 + x^{2}} + 2 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x - 2 \int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x \end{aligned}

となる. ゆえに,

\begin{aligned} 2 \int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x & = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \frac{x}{1 + x^{2}} \\ (6) & = \tan^{- 1} x + \frac{x}{1 + x^{2}} \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{aligned} (7) & \int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x & = \frac{1}{2} (\tan^{- 1} x + \frac{x}{1 + x^{2}}) \end{aligned}

が得られる.

ランダウ力学§52問題で登場した積分の3つ目

積分の概要

ランダウ力学§52問題で登場した積分の3つ目は

\begin{array}{r} (8) & \int \frac{1}{(1 - e) + (1 + e) x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2}}} \tan^{- 1} (\sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} x) \end{array}

である.

積分の計算

計算すると,

\begin{aligned} (9) & \int \frac{1}{(1 - e) + (1 + e) x^{2}} d x & = \frac{1}{1 + e} \int \frac{1}{\frac{1 - e}{1 + e} + x^{2}} d x \end{aligned}

となる. ここで, $x = \sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \tan θ$ の置換を用いると,

\begin{aligned} \int \frac{1}{(1 - e) + (1 + e) x^{2}} d x \\ = \frac{1}{1 + e} \int \frac{1 + e}{1 - e} \frac{1}{1 + \tan^{2} θ} \sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \frac{1}{\cos^{2} θ} d θ \\ = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2}}} \int d θ \\ = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2}}} θ \\ (10) & = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2}}} \tan^{- 1} (\sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} x) \end{aligned}

が得られる.

ランダウ力学 §52問題積分の計算

ランダウ力学§52問題で登場した積分の1つ目

積分の概要

積分の計算

ランダウ力学§52問題で登場した積分の2つ目

積分の概要

積分の計算

ランダウ力学§52問題で登場した積分の3つ目

積分の概要

積分の計算

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