ランダウ力学 §50問題解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§50の問題の解説です.

1問題
2解答作成
3参考文献
4関連記事
5脚注

問題

時間に依存する周期を持った調和振動子(Hamiltonian

(49.11)

)について, 正準変数をもちいて表現した運動方程式を書け.

Hamiltonianは,

\begin{aligned} (49.11) & H & = \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{m ω^{2} q^{2}}{2} \end{aligned}

である.

解答作成

この場合, 本編でのパラメータ $λ$ の役割は, $ω$ が担う.

本編での式( $λ$ を $ω$ に変えてある)

\begin{aligned} (50.1) & S_{0} & = \int p (q, E; ω) d q, \\ (50.2) & p & = \frac{\partial S_{0} (q, I; ω)}{\partial q}, \\ (50.3) & w & = \frac{\partial S_{0} (q, I; ω)}{\partial I}, \end{aligned}

では, $ω$ は一定として扱う. $ω$ が一定のとき $w = ω t$ である^*1から,

\begin{aligned} (1) & q & = \sqrt{\frac{2 E}{m ω^{2}}} \sin w = \sqrt{\frac{2 I}{m ω}} \sin w, \\ (2) & p & = \sqrt{2 m E} \cos w = \sqrt{2 m ω I} \cos w \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{aligned} S_{0} & = \int p d q \\ = \int p {(\frac{\partial q}{\partial w})}_{I, ω} d w \\ (3) & = 2 I \int \cos^{2} w d w \end{aligned}

となる.

ここからは, $ω$ を $ω (t)$ として考えることになる. 本編での式( $λ$ を $ω$ に変えてある)

\begin{aligned} (50.9) & Λ & = {(\frac{\partial S_{0}}{\partial ω})}_{q, I} \end{aligned}

は,

\begin{aligned} (4) & Λ & = {(\frac{\partial S_{0}}{\partial w})}_{I} {(\frac{\partial w}{\partial ω})}_{q} \end{aligned}

と書ける. まず, $(3)$ より,

\begin{aligned} (5) & {(\frac{\partial S_{0}}{\partial w})}_{I} & = 2 I \cos^{2} w \end{aligned}

である. また, $(1)$ において両辺を $q = const$ として $ω$ で微分することで,

\begin{aligned} (6) & 0 & = - \sqrt{\frac{I}{2 m ω^{3}}} \sin w + \sqrt{\frac{2 I}{m ω}} \cos w {(\frac{\partial w}{\partial ω})}_{q} \end{aligned}

となり, これを整理して,

\begin{aligned} (7) & {(\frac{\partial w}{\partial ω})}_{q} & = \frac{1}{2 ω} \tan w \end{aligned}

となる. ゆえに, $(5)$ , $(7)$ より,

\begin{aligned} (8) & Λ & = \frac{I}{2 ω} \sin 2 w \end{aligned}

となる.

$Λ$ を用いたHamilton方程式の記述は, 本編での式( $λ$ を $ω$ に変えてある)

\begin{aligned} (50.10) & \dot{I} & = - {(\frac{\partial Λ}{\partial w})}_{I, ω} \dot{ω} \end{aligned}

と

\begin{aligned} (50.11) & \dot{w} & = ω + {(\frac{\partial Λ}{\partial I})}_{w, ω} \dot{ω} \end{aligned}

で与えられる. $(50.10)$ に $(8)$ を代入すると,

\begin{aligned} (9) & \dot{I} & = - (\frac{I}{ω} \cos 2 w) \dot{ω} = \frac{I \dot{ω}}{ω} \cos 2 w \end{aligned}

が得られ, $(50.11)$ に $(8)$ を代入すると,

\begin{aligned} (10) & \dot{w} & = ω + (\frac{1}{2 ω} \sin 2 w) \dot{ω} = ω + \frac{\dot{ω}}{ω} \sin 2 w \end{aligned}

が得られる. $(9)$ , $(10)$ が, 求める運動方程式である.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程

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脚注

*1 : 本編での式

\begin{aligned} (49.12) & I & = \frac{E}{ω} \end{aligned}

および, $ω$ が一定のときのHamilton方程式

\begin{aligned} (50.4) & \dot{w} & = \frac{d E (I)}{d I} \end{aligned}

によって, $w = ω t$ となる( $const = 0$ とした).

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