ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§50の問題の解説です.
問題
時間に依存する周期を持った調和振動子(Hamiltonian\eqref{eq_49-11})について, 正準変数をもちいて表現した運動方程式を書け.
Hamiltonianは,
\begin{align}
H &= \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2} \tag{49.11} \label{eq_49-11}
\end{align}
である.
解答作成
この場合, 本編でのパラメータ$\lambda$の役割は, $\omega$が担う.
本編での式($\lambda$を$\omega$に変えてある)
\begin{align}
S_0 &= \int p(q, E; \omega) \, \mathrm{d}q , \tag{50.1} \label{eq_50-1} \\
p &= \frac{\partial S_0(q, I; \omega)}{\partial q} , \tag{50.2} \label{eq_50-2} \\
w &= \frac{\partial S_0(q, I; \omega)}{\partial I} , \tag{50.3} \label{eq_50-3}
\end{align}
では, $\omega$は一定として扱う. $\omega$が一定のとき$w = \omega t$である*1から,
\begin{align}
q &= \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \sin w = \sqrt{\frac{2I}{m\omega}} \sin w , \label{eq_50-e2} \\
p &= \sqrt{2mE} \cos w = \sqrt{2m \omega I} \cos w
\end{align}
となる. したがって,
\begin{align}
S_0 &= \int p \, \mathrm{d}q \nonumber \\
&= \int p \left( \frac{\partial q}{\partial w} \right)_{I , \omega} \, \mathrm{d}w \nonumber \\
&= 2I \int \cos^2 w \, \mathrm{d}w \label{eq_50-e1}
\end{align}
となる.
ここからは, $\omega$を$\omega(t)$として考えることになる. 本編での式($\lambda$を$\omega$に変えてある)
\begin{align}
\Lambda &= \left( \frac{\partial S_0}{\partial \omega} \right)_{q,I} \tag{50.9} \label{eq_50-9}
\end{align}
は,
\begin{align}
\Lambda &= \left( \frac{\partial S_0}{\partial w} \right)_{I} \left( \frac{\partial w}{\partial \omega} \right)_q
\end{align}
と書ける. まず, \eqref{eq_50-e1}より,
\begin{align}
\left( \frac{\partial S_0}{\partial w} \right)_{I} &= 2I \cos^2 w \label{eq_50-e3}
\end{align}
である. また, \eqref{eq_50-e2}において両辺を$q = \mathrm{const}$として$\omega$で微分することで,
\begin{align}
0 &= - \sqrt{\frac{I}{2m \omega^3}} \sin w + \sqrt{\frac{2I}{m \omega}} \cos w \left( \frac{\partial w}{\partial \omega} \right)_q
\end{align}
となり, これを整理して,
\begin{align}
\left( \frac{\partial w}{\partial \omega} \right)_q &= \frac{1}{2\omega} \tan w \label{eq_50-e4}
\end{align}
となる. ゆえに, \eqref{eq_50-e3}, \eqref{eq_50-e4}より,
\begin{align}
\Lambda &= \frac{I}{2\omega} \sin 2w \label{eq_50-e5}
\end{align}
となる.
$\Lambda$を用いたHamilton方程式の記述は, 本編での式($\lambda$を$\omega$に変えてある)
\begin{align}
\dot{I} &= - \left( \frac{\partial \Lambda}{\partial w} \right)_{I, \omega} \dot{\omega} \tag{50.10} \label{eq_50-10}
\end{align}
と
\begin{align}
\dot{w} &= \omega + \left( \frac{\partial \Lambda}{\partial I} \right)_{w, \omega} \dot{\omega} \tag{50.11} \label{eq_50-11}
\end{align}
で与えられる. \eqref{eq_50-10}に\eqref{eq_50-e5}を代入すると,
\begin{align}
\dot{I} &= - \left( \frac{I}{\omega} \cos 2w \right) \dot{\omega} = \frac{I \dot{\omega}}{\omega} \cos 2w \label{eq_50-e6}
\end{align}
が得られ, \eqref{eq_50-11}に\eqref{eq_50-e5}を代入すると,
\begin{align}
\dot{w} &= \omega + \left( \frac{1}{2\omega} \sin 2w \right) \dot{\omega} = \omega + \frac{\dot{\omega}}{\omega} \sin 2w \label{eq_50-e7}
\end{align}
が得られる. \eqref{eq_50-e6}, \eqref{eq_50-e7}が, 求める運動方程式である.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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脚注
*1 : 本編での式
\begin{align}
I &= \frac{E}{\omega} \tag{49.12} \label{eq_49-12}
\end{align}
および, $\omega$が一定のときのHamilton方程式
\begin{align}
\dot{w} &= \frac{\mathrm{d} E(I)}{\mathrm{d} I} \tag{50.4}
\end{align}
によって, $w = \omega t$となる($\mathrm{const} = 0$とした).
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