ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§42の問題1の解説です.
問題
質点の運動量$\bm{p}$のデカルト成分と角運動量$\bm{M} = \bm{r} \times \bm{p}$のデカルト成分とから構成されるPoissonの括弧式を求めよ.
解答作成
本編で示されているPoissonの括弧式の性質を用いれば, 直接微分することなく求めることができる. 例えば,
\begin{align}
\left\{ p_x , M_x \right\} &= \left\{ p_x , y p_z - z p_y \right\} \nonumber \\
&= \left\{ p_x , y p_z \right\} - \left\{ p_x , z p_y \right\} \nonumber \\
&= \left\{ p_x , y \right\} p_z + y \left\{ p_x , p_z \right\} - \left\{ p_x , z \right\} p_y - z \left\{ p_x , p_y \right\} \nonumber \\
&= 0 \nonumber
\end{align}
であり,
\begin{align}
\left\{ p_x , M_y \right\} &= \left\{ p_x , z p_x - x p_z \right\} \nonumber \\
&= \left\{ p_x , z p_x \right\} - \left\{ p_x , x p_z \right\} \nonumber \\
&= \left\{ p_x , z \right\} p_x + z \left\{ p_x , p_x \right\} - \left\{ p_x , x \right\} p_z - x \left\{ p_x , p_z \right\} \nonumber \\
&= p_z \nonumber
\end{align}
であり,
\begin{align}
\left\{ p_x , M_z \right\} &= \left\{ p_x , x p_y - y p_x \right\} \nonumber \\
&= \left\{ p_x , x p_y \right\} - \left\{ p_x , y p_x \right\} \nonumber \\
&= \left\{ p_x , x \right\} p_y + x \left\{ p_x , p_y \right\} - \left\{ p_x , y \right\} p_x - y \left\{ p_x , p_x \right\} \nonumber \\
&= - p_y \nonumber
\end{align}
である. 残りはこれらの式において添字$x$, $y$, $z$を循環置換すればよい.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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