ランダウ力学 §42問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§42の問題1の解説です.

問題

質点の運動量

p

のデカルト成分と角運動量

M = r \times p

のデカルト成分とから構成されるPoissonの括弧式を求めよ.

本編で示されているPoissonの括弧式の性質を用いれば, 直接微分することなく求めることができる. 例えば,

\begin{aligned} {p_{x}, M_{x}} & = {p_{x}, y p_{z} - z p_{y}} \\ = {p_{x}, y p_{z}} - {p_{x}, z p_{y}} \\ = {p_{x}, y} p_{z} + y {p_{x}, p_{z}} - {p_{x}, z} p_{y} - z {p_{x}, p_{y}} \\ = 0 \end{aligned}

であり,

\begin{aligned} {p_{x}, M_{y}} & = {p_{x}, z p_{x} - x p_{z}} \\ = {p_{x}, z p_{x}} - {p_{x}, x p_{z}} \\ = {p_{x}, z} p_{x} + z {p_{x}, p_{x}} - {p_{x}, x} p_{z} - x {p_{x}, p_{z}} \\ = p_{z} \end{aligned}

であり,

\begin{aligned} {p_{x}, M_{z}} & = {p_{x}, x p_{y} - y p_{x}} \\ = {p_{x}, x p_{y}} - {p_{x}, y p_{x}} \\ = {p_{x}, x} p_{y} + x {p_{x}, p_{y}} - {p_{x}, y} p_{x} - y {p_{x}, p_{x}} \\ = - p_{y} \end{aligned}

である. 残りはこれらの式において添字 $x$ , $y$ , $z$ を循環置換すればよい.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.