ランダウ力学 §32問題2(a-c) 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題2(a-c)の解説です.

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1問題
2解答作成
3参考文献
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問題

つぎのような一様な物体の主慣性モーメントを求めよ.

長さ $l$ の細い棒.
半径 $R$ の球.
半径 $R$ , 高さ $h$ の円柱.

解答作成

棒の太さを無視して考える. 棒の密度は一様であるから, 慣性中心は長さが半分のところである. そして, 棒の線密度 $λ$ は棒の全質量 $μ$ を用いて $λ = μ / l$ と書ける.
棒を $x_{3}$ 軸上におくと, $x_{1} = x_{2} = 0$ である(本編の回転子(rotator)の議論を参照). 主慣性モーメント $I_{1}$ , $I_{2}$ は,
$\begin{aligned} I_{1} = I_{2} & = \int_{- l / 2}^{l / 2} d x_{3} λ x_{3}^{2} \\ (1) & = \frac{μ l^{2}}{12} \end{aligned}$
となる. また, 主慣性モーメント $I_{3}$ は,
$\begin{aligned} (2) & I_{3} & = 0 \end{aligned}$
となる.
球の密度は一様であるから, 慣性中心は球の中心である. そして, 球の質量密度 $ρ$ は球の全質量 $μ$ を用いて $ρ = 3 μ / 4 π R^{3}$ と書ける.
一様な球はその対称性から球状こま(spherical top)で, いまの場合 $I_{1} = I_{2} = I_{3} = I$ である. すると, $I = (I_{1} + I_{2} + I_{3}) / 3$ となるから,
$\begin{aligned} I & = \frac{I_{1} + I_{2} + I_{3}}{3} \\ = \frac{1}{3} (\int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \\ + \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{3}^{2} + x_{1}^{2}) \\ + \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})) \\ (3) & = \frac{2 ρ}{3} \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \end{aligned}$
を得る. これを球座標に座標変換して積分すると, $d x_{1} d x_{2} d x_{3} = r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ$ より,
$\begin{aligned} I & = \frac{2 ρ}{3} \int_{0}^{R} d r \int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ r^{4} \sin θ \\ (4) & = \frac{2 μ R^{2}}{5} \end{aligned}$
となる.
円柱の密度は一様であるから, 慣性中心は円柱の中心(円柱の軸上の高さ半分のところ)である. そして, 円柱の質量密度 $ρ$ は円柱の全質量 $μ$ を用いて $ρ = μ / π h R^{2}$ と書ける.
円柱の軸を $x_{3}$ にとる. 一様な円柱はその対称性から対称こま(symmetrical top)で, いまの場合 $I_{1} = I_{2} = I$ である. すると, $I = (I_{1} + I_{2}) / 2$ となるから,
$\begin{aligned} I & = \frac{I_{1} + I_{2}}{2} \\ = \frac{1}{2} (\int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \\ + \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{3}^{2} + x_{1}^{2})) \\ (5) & = \frac{ρ}{2} \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2}) \end{aligned}$
を得る. これを円柱座標に座標変換して積分すると, $d x_{1} d x_{2} d x_{3} = r d r d θ d z$ より,
$\begin{aligned} I & = \frac{ρ}{2} \int_{0}^{R} d r \int_{0}^{2 π} d θ \int_{- h / 2}^{h / 2} d z r (r^{2} + 2 z^{2}) \\ = \frac{μ R^{2}}{4} + \frac{μ h^{2}}{12} \\ (6) & = \frac{μ}{4} (R^{2} + \frac{h^{2}}{3}) \end{aligned}$
となる. 一方, $I_{3}$ に関しては,
$\begin{aligned} I_{3} & = \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} ρ (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \\ (7) & = ρ \int_{V} d x_{1} d x_{2} d x_{3} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \end{aligned}$
を得る. これを $I$ と同様に円柱座標に座標変換して積分すると,
$\begin{aligned} I_{3} & = ρ \int_{0}^{R} d r \int_{0}^{2 π} d θ \int_{- h / 2}^{h / 2} d z r^{3} \\ (8) & = \frac{μ R^{2}}{2} \end{aligned}$
となる.