ランダウ力学 §32問題2(a-c) 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題2(a-c)の解説です.

問題

解答作成

1. 棒の太さを無視して考える. 棒の密度は一様であるから, 慣性中心は長さが半分のところである. そして, 棒の線密度$\lambda$は棒の全質量$\mu$を用いて$\lambda = \mu / l$と書ける.
   棒を$x_3$軸上におくと, $x_1 = x_2 = 0$である(本編の回転子(rotator)の議論を参照). 主慣性モーメント$I_1$, $I_2$は,
   \begin{align} I_1 = I_2 &= \int_{-l/2}^{l/2} \mathrm{d}x_3 \, \lambda x_3^2 \nonumber \\ &= \frac{\mu l^2}{12} \end{align}
   となる. また, 主慣性モーメント$I_3$は,
   \begin{align} I_3 &= 0 \end{align}
   となる.
   
   
2. 球の密度は一様であるから, 慣性中心は球の中心である. そして, 球の質量密度$\rho$は球の全質量$\mu$を用いて$\rho = 3 \mu / 4 \pi R^3$と書ける.
   一様な球はその対称性から球状こま(spherical top)で, いまの場合$I_1 = I_2 = I_3 = I$である. すると, $I = \left( I_1 + I_2 + I_3 \right) / 3$となるから,
   \begin{align} I &= \frac{I_1 + I_2 + I_3}{3} \nonumber \\ &= \frac{1}{3} \left( \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_2^2 + x_3^2 \right) \right. \nonumber \\ &\quad + \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_3^2 + x_1^2 \right) \nonumber \\ &\quad \left. + \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_1^2 + x_2^2 \right) \right) \nonumber \\ &= \frac{2\rho}{3} \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \left( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \right) \end{align}
   を得る. これを球座標に座標変換して積分すると, $\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 = r^2 \sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$より,
   \begin{align} I &= \frac{2\rho}{3} \int_0^R \mathrm{d}r \int_0^\pi \mathrm{d}\theta \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi \, r^4 \sin \theta \nonumber \\ &= \frac{2 \mu R^2}{5} \end{align}
   となる.
   
   
3. 円柱の密度は一様であるから, 慣性中心は円柱の中心(円柱の軸上の高さ半分のところ)である. そして, 円柱の質量密度$\rho$は円柱の全質量$\mu$を用いて$\rho = \mu / \pi h R^2$と書ける.
   円柱の軸を$x_3$にとる. 一様な円柱はその対称性から対称こま(symmetrical top)で, いまの場合$I_1 = I_2 = I$である. すると, $I = \left( I_1 + I_2 \right) / 2$となるから,
   \begin{align} I &= \frac{I_1 + I_2}{2} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} \left( \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_2^2 + x_3^2 \right) \right. \nonumber \\ &\quad \left. + \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_3^2 + x_1^2 \right) \right) \nonumber \\ &= \frac{\rho}{2} \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \left( x_1^2 + x_2^2 + 2 x_3^2 \right) \end{align}
   を得る. これを円柱座標に座標変換して積分すると, $\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 = r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$より,
   \begin{align} I &= \frac{\rho}{2} \int_0^R \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{-h/2}^{h/2} \mathrm{d}z \, r \left( r^2 + 2z^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{\mu R^2}{4} + \frac{\mu h^2}{12} \nonumber \\ &= \frac{\mu}{4} \left( R^2 + \frac{h^2}{3} \right) \end{align}
   となる. 一方, $I_3$に関しては,
   \begin{align} I_3 &= \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \rho \left( x_1^2 + x_2^2 \right) \nonumber \\ &= \rho \int_V \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \, \left( x_1^2 + x_2^2 \right) \end{align}
   を得る. これを$I$と同様に円柱座標に座標変換して積分すると,
   \begin{align} I_3 &= \rho \int_0^R \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{-h/2}^{h/2} \mathrm{d}z \, r^3 \nonumber \\ &= \frac{\mu R^2}{2} \end{align}
   となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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