ランダウ力学 §5問題3 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§5の問題3の解説です.

問題

図3

解答作成

1. 支点の座標は$( a \cos \gamma t , - a \sin \gamma t )$とできる($t=0$のときに円の右端にいて, 図3において反時計回りに回るとする). よって, 質点$m$の座標を$( x , y )$とすると,
   \begin{align} x &= a \cos \gamma t + l \sin \varphi , \nonumber \\ y &= - a \sin \gamma t + l \cos \varphi \nonumber \end{align}
   となる. これを時間微分して,
   \begin{align} \dot{x} &= - a \gamma \sin \gamma t + l \dot{\varphi} \cos \varphi , \nonumber \\ \dot{y} &= - a \gamma \cos \gamma t - l \dot{\varphi} \sin \varphi \nonumber \end{align}
   となる. ゆえに, 運動エネルギー$T$は
   \begin{align} T &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m \left\{ \left( - a \gamma \sin \gamma t + l \dot{\varphi} \cos \varphi \right)^2 + \left( - a \gamma \cos \gamma t - l \dot{\varphi} \sin \varphi \right)^2 \right\} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m \left\{ a^2 \gamma^2 + l^2 \dot{\varphi}^2 + 2 a \gamma l \dot{\varphi} \left( \cos \gamma t \sin \varphi - \sin \gamma t \cos \varphi \right) \right\} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m \left\{ a^2 \gamma^2 + l^2 \dot{\varphi}^2 + 2 a \gamma l \dot{\varphi} \sin \left( \varphi - \gamma t \right) \right\} \label{eq_5-e9} \end{align}
   となり, ポテンシャルエネルギー$U$は
   \begin{align} U &= - m g y \nonumber \\ &= m g a \sin \gamma t - m g l \cos \varphi \label{eq_5-e10} \end{align}
   となる. \eqref{eq_5-e9}, \eqref{eq_5-e10}より, この系のLagrangianは
   \begin{align} L &= T - U \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m \left\{ a^2 \gamma^2 + l^2 \dot{\varphi}^2 + 2 a \gamma l \dot{\varphi} \sin \left( \varphi - \gamma t \right) \right\} \nonumber \\ &\quad - m g a \sin \gamma t + m g l \cos \varphi \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + m a \gamma l \dot{\varphi} \sin \left( \varphi - \gamma t \right) + m g l \cos \varphi \nonumber \\ &\quad + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 - m g a \sin \gamma t \end{align}
   となる. ただし,
   \begin{align} \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 - m g a \sin \gamma t \nonumber \end{align}
   は
   \begin{align} f(t) &= \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 t + m g a \frac{1}{\gamma} \cos \gamma t \nonumber \end{align}
   の時間についての完全導関数であるから, これを省くことができて, 最終的なLagrangianは
   \begin{align} L &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + m a \gamma l \dot{\varphi} \sin \left( \varphi - \gamma t \right) + m g l \cos \varphi \end{align}
   となる.
   
   
2. もともとの単振子の座標は$( l \sin \varphi , l \cos \varphi )$であるから, 支点が水平方向に$a \cos \gamma t$にしたがって振動している場合の単振子の座標を$( x , y )$とすると,
   \begin{align} x &= l \sin \varphi + a \cos \gamma t , \nonumber \\ y &= l \cos \varphi \nonumber \end{align}
   となる. これを時間微分して,
   \begin{align} \dot{x} &= l \dot{\varphi} \cos \varphi - a \gamma \sin \gamma t , \nonumber \\ \dot{y} &= - l \dot{\varphi} \sin \varphi \nonumber \end{align}
   となる. ゆえに, 運動エネルギー$T$は
   \begin{align} T &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m \left\{ \left( l \dot{\varphi} \cos \varphi - a \gamma \sin \gamma t \right)^2 + \left( - l \dot{\varphi} \sin \varphi \right)^2 \right\} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 \sin^2 \gamma t - m a \gamma l \dot{\varphi} \cos \varphi \sin \gamma t \label{eq_5-e11} \end{align}
   となり, ポテンシャルエネルギー$U$は
   \begin{align} U &= - m g y \nonumber \\ &= - m g l \cos \varphi \label{eq_5-e12} \end{align}
   となる. \eqref{eq_5-e11}, \eqref{eq_5-e12}より, この系のLagrangianは
   \begin{align} L &= T - U \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 \sin^2 \gamma t - m a \gamma l \dot{\varphi} \cos \varphi \sin \gamma t \nonumber \\ &\quad + m g l \cos \varphi \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + m a \gamma^2 l \sin \varphi \cos \gamma t + m g l \cos \varphi \nonumber \\ &\qquad - m a \gamma l \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \sin \varphi \sin \gamma t \right) + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 \sin^2 \gamma t \end{align}
   となる. ただし,
   \begin{align} - m a \gamma l \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \sin \varphi \sin \gamma t \right) + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 \sin^2 \gamma t \nonumber \end{align}
   は
   \begin{align} f(\varphi , t) &= - m a \gamma l \sin \varphi \sin \gamma t + \frac{1}{4} m a^2 \gamma^2 t - \frac{1}{8} m a^2 \gamma \sin 2 \gamma t \nonumber \end{align}
   の時間についての完全導関数であるから, これを省くことができて, 最終的なLagrangianは
   \begin{align} L &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + m a \gamma^2 l \sin \varphi \cos \gamma t + m g l \cos \varphi \end{align}
   となる.
   
   
3. もともとの単振子の座標は$( l \sin \varphi , l \cos \varphi )$であるから, 支点が鉛直方向に$a \cos \gamma t$にしたがって振動している場合の単振子の座標を$( x , y )$とすると,
   \begin{align} x &= l \sin \varphi , \nonumber \\ y &= l \cos \varphi + a \cos \gamma t \nonumber \end{align}
   となる. これを時間微分して,
   \begin{align} \dot{x} &= l \dot{\varphi} \cos \varphi , \nonumber \\ \dot{y} &= - l \dot{\varphi} \sin \varphi - a \gamma \sin \gamma t \nonumber \end{align}
   となる. ゆえに, 運動エネルギー$T$は
   \begin{align} T &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m \left\{ \left( l \dot{\varphi} \cos \varphi \right)^2 + \left( - l \dot{\varphi} \sin \varphi - a \gamma \sin \gamma t \right)^2 \right\} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 \sin^2 \gamma t + m a \gamma l \dot{\varphi} \sin \varphi \sin \gamma t \label{eq_5-e13} \end{align}
   となり, ポテンシャルエネルギー$U$は
   \begin{align} U &= - m g y \nonumber \\ &= - m g l \cos \varphi - m g a \cos \gamma t \label{eq_5-e14} \end{align}
   となる. \eqref{eq_5-e13}, \eqref{eq_5-e14}より, この系のLagrangianは
   \begin{align} L &= T - U \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 \sin^2 \gamma t + m a \gamma l \dot{\varphi} \sin \varphi \sin \gamma t \nonumber \\ &\quad + m g l \cos \varphi + m g a \cos \gamma t \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + m a \gamma^2 l \cos \varphi \cos \gamma t + m g l \cos \varphi \nonumber \\ &\quad - m a \gamma l \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cos \varphi \sin \gamma t \right) + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 \sin^2 \gamma t \nonumber \\ &\quad + m g a \cos \gamma t \end{align}
   となる. ただし,
   \begin{align} - m a \gamma l \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cos \varphi \sin \gamma t \right) + \frac{1}{2} m a^2 \gamma^2 \sin^2 \gamma t + m g a \cos \gamma t \nonumber \end{align}
   は
   \begin{align} f(\varphi , t) &= - m a \gamma l \cos \varphi \sin \gamma t + \frac{1}{4} m a^2 \gamma^2 t \nonumber \\ &\quad - \frac{1}{8} m a^2 \gamma \sin 2 \gamma t + m g a \frac{1}{\gamma} \sin \gamma t \nonumber \end{align}
   の時間についての完全導関数であるから, これを省くことができて, 最終的なLagrangianは
   \begin{align} L &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 + m a \gamma^2 l \cos \varphi \cos \gamma t + m g l \cos \varphi \end{align}
   となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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