ランダウ力学 §5問題3 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§5の問題3の解説です.

1問題
2解答作成
3参考文献
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問題

一様な重力場(重力加速度

g

)のなかにある, つぎのような系のLagrangianを求めよ.

つぎのような支点をもつ単振子：
1. 支点が鉛直平面内の円周上を一定の角速度 $γ$ で一様に動いている場合(図3).
2. 水平方向に $a \cos γ t$ にしたがって振動している場合.
3. 鉛直方向に $a \cos γ t$ にしたがって振動している場合.

図3

解答作成

支点の座標は $(a \cos γ t, - a \sin γ t)$ とできる( $t = 0$ のときに円の右端にいて, 図3において反時計回りに回るとする). よって, 質点 $m$ の座標を $(x, y)$ とすると,
$\begin{aligned} x & = a \cos γ t + l \sin φ, \\ y & = - a \sin γ t + l \cos φ \end{aligned}$
となる. これを時間微分して,
$\begin{aligned} \dot{x} & = - a γ \sin γ t + l \dot{φ} \cos φ, \\ \dot{y} & = - a γ \cos γ t - l \dot{φ} \sin φ \end{aligned}$
となる. ゆえに, 運動エネルギー $T$ は
$\begin{aligned} T & = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) \\ = \frac{1}{2} m {{(- a γ \sin γ t + l \dot{φ} \cos φ)}^{2} + {(- a γ \cos γ t - l \dot{φ} \sin φ)}^{2}} \\ = \frac{1}{2} m {a^{2} γ^{2} + l^{2} {\dot{φ}}^{2} + 2 a γ l \dot{φ} (\cos γ t \sin φ - \sin γ t \cos φ)} \\ (1) & = \frac{1}{2} m {a^{2} γ^{2} + l^{2} {\dot{φ}}^{2} + 2 a γ l \dot{φ} \sin (φ - γ t)} \end{aligned}$
となり, ポテンシャルエネルギー $U$ は
$\begin{aligned} U & = - m g y \\ (2) & = m g a \sin γ t - m g l \cos φ \end{aligned}$
となる. $(1)$ , $(2)$ より, この系のLagrangianは
$\begin{aligned} L & = T - U \\ = \frac{1}{2} m {a^{2} γ^{2} + l^{2} {\dot{φ}}^{2} + 2 a γ l \dot{φ} \sin (φ - γ t)} \\ - m g a \sin γ t + m g l \cos φ \\ = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m a γ l \dot{φ} \sin (φ - γ t) + m g l \cos φ \\ (3) & + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} - m g a \sin γ t \end{aligned}$
となる. ただし,
$\begin{array}{r} \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} - m g a \sin γ t \end{array}$
は
$\begin{aligned} f (t) & = \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} t + m g a \frac{1}{γ} \cos γ t \end{aligned}$
の時間についての完全導関数であるから, これを省くことができて, 最終的なLagrangianは
$\begin{aligned} (4) & L & = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m a γ l \dot{φ} \sin (φ - γ t) + m g l \cos φ \end{aligned}$
となる.
もともとの単振子の座標は $(l \sin φ, l \cos φ)$ であるから, 支点が水平方向に $a \cos γ t$ にしたがって振動している場合の単振子の座標を $(x, y)$ とすると,
$\begin{aligned} x & = l \sin φ + a \cos γ t, \\ y & = l \cos φ \end{aligned}$
となる. これを時間微分して,
$\begin{aligned} \dot{x} & = l \dot{φ} \cos φ - a γ \sin γ t, \\ \dot{y} & = - l \dot{φ} \sin φ \end{aligned}$
となる. ゆえに, 運動エネルギー $T$ は
$\begin{aligned} T & = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) \\ = \frac{1}{2} m {{(l \dot{φ} \cos φ - a γ \sin γ t)}^{2} + {(- l \dot{φ} \sin φ)}^{2}} \\ (5) & = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} \sin^{2} γ t - m a γ l \dot{φ} \cos φ \sin γ t \end{aligned}$
となり, ポテンシャルエネルギー $U$ は
$\begin{aligned} U & = - m g y \\ (6) & = - m g l \cos φ \end{aligned}$
となる. $(5)$ , $(6)$ より, この系のLagrangianは
$\begin{aligned} L & = T - U \\ = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} \sin^{2} γ t - m a γ l \dot{φ} \cos φ \sin γ t \\ + m g l \cos φ \\ = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m a γ^{2} l \sin φ \cos γ t + m g l \cos φ \\ (7) & - m a γ l \frac{d}{d t} (\sin φ \sin γ t) + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} \sin^{2} γ t \end{aligned}$
となる. ただし,
$\begin{array}{r} - m a γ l \frac{d}{d t} (\sin φ \sin γ t) + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} \sin^{2} γ t \end{array}$
は
$\begin{aligned} f (φ, t) & = - m a γ l \sin φ \sin γ t + \frac{1}{4} m a^{2} γ^{2} t - \frac{1}{8} m a^{2} γ \sin 2 γ t \end{aligned}$
の時間についての完全導関数であるから, これを省くことができて, 最終的なLagrangianは
$\begin{aligned} (8) & L & = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m a γ^{2} l \sin φ \cos γ t + m g l \cos φ \end{aligned}$
となる.
もともとの単振子の座標は $(l \sin φ, l \cos φ)$ であるから, 支点が鉛直方向に $a \cos γ t$ にしたがって振動している場合の単振子の座標を $(x, y)$ とすると,
$\begin{aligned} x & = l \sin φ, \\ y & = l \cos φ + a \cos γ t \end{aligned}$
となる. これを時間微分して,
$\begin{aligned} \dot{x} & = l \dot{φ} \cos φ, \\ \dot{y} & = - l \dot{φ} \sin φ - a γ \sin γ t \end{aligned}$
となる. ゆえに, 運動エネルギー $T$ は
$\begin{aligned} T & = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) \\ = \frac{1}{2} m {{(l \dot{φ} \cos φ)}^{2} + {(- l \dot{φ} \sin φ - a γ \sin γ t)}^{2}} \\ (9) & = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} \sin^{2} γ t + m a γ l \dot{φ} \sin φ \sin γ t \end{aligned}$
となり, ポテンシャルエネルギー $U$ は
$\begin{aligned} U & = - m g y \\ (10) & = - m g l \cos φ - m g a \cos γ t \end{aligned}$
となる. $(9)$ , $(10)$ より, この系のLagrangianは
$\begin{aligned} L & = T - U \\ = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} \sin^{2} γ t + m a γ l \dot{φ} \sin φ \sin γ t \\ + m g l \cos φ + m g a \cos γ t \\ = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m a γ^{2} l \cos φ \cos γ t + m g l \cos φ \\ - m a γ l \frac{d}{d t} (\cos φ \sin γ t) + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} \sin^{2} γ t \\ (11) & + m g a \cos γ t \end{aligned}$
となる. ただし,
$\begin{array}{r} - m a γ l \frac{d}{d t} (\cos φ \sin γ t) + \frac{1}{2} m a^{2} γ^{2} \sin^{2} γ t + m g a \cos γ t \end{array}$
は
$\begin{aligned} f (φ, t) & = - m a γ l \cos φ \sin γ t + \frac{1}{4} m a^{2} γ^{2} t \\ - \frac{1}{8} m a^{2} γ \sin 2 γ t + m g a \frac{1}{γ} \sin γ t \end{aligned}$
の時間についての完全導関数であるから, これを省くことができて, 最終的なLagrangianは
$\begin{aligned} (12) & L & = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m a γ^{2} l \cos φ \cos γ t + m g l \cos φ \end{aligned}$
となる.