King Propertyは, 関数$f(x)$の定積分に関する便利な性質です. ここでは, King Propertyとは何か, またどのように役立てることができるかについて紹介します.
King Propertyとは
King Propertyとは, 関数の定積分に関する次のような性質のことを指します.
King Property
関数$f(x)$の定積分に関して, 以下の式が成り立つ：
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b f(a + b - x) \, \mathrm{d}x .} \label{eq_king_property-1}
\end{align}
ただし, $a$, $b$は定数である.
特に, $b = 0$とすれば,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\int_0^a f(x) \, \mathrm{d}x = \int_0^a f(a - x) \, \mathrm{d}x}
\end{align}
が得られる.
King Propertyの証明
式\eqref{eq_king_property-1}の右辺に対して, $u = a + b - x$の置換積分を用いれば良いです. すると,
\begin{align}
\int_a^b f(a + b - x) \, \mathrm{d}x &= \int_b^a f(u) \, \left( - \mathrm{d} u \right) = \int_a^b f(u) \, \mathrm{d}u
\end{align}
が得られて, 式\eqref{eq_king_property-1}を示すことができました.
King Propertyのイメージ
King Propertyのイメージは, 下図のようになります. 下図の1つ目と2つ目においては左右反転していただけなので, 色が塗られた面積は等しくなります. この左右の面積は, 式\eqref{eq_king_property-1}の両辺に等しくなるため, 式\eqref{eq_king_property-1}が成り立つというイメージです.
King Propertyの活用例
活用例(1)
次の積分を実行せよ：
\begin{align}
\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x .
\end{align}
次の積分を実行せよ：
\begin{align}
\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x .
\end{align}
$x = \pi / 2 - t$の置換積分を用いると,
\begin{align}
\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x &= \int_{\pi / 2}^0 \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} - t \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - t \right) + \cos \left( \frac{\pi}{2} - t \right)} \, \left( - \mathrm{d}t \right) \nonumber \\
&= \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} \, \mathrm{d}t
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x - \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x &= 0 \label{eq_king_property-2}
\end{align}
となる. 一方で,
\begin{align}
\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x + \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x &= \int_0^{\pi / 2} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \label{eq_king_property-3}
\end{align}
であるから, 式\eqref{eq_king_property-2}, \eqref{eq_king_property-3}をそれぞれの積分に対して連立方程式のような形で解けば,
\begin{align}
\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x &= \frac{\pi}{4} , \\
\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x &= \frac{\pi}{4}
\end{align}
が得られる.
活用例(2)
次の積分を実行せよ：
\begin{align}
\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x .
\end{align}
次の積分を実行せよ：
\begin{align}
\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x .
\end{align}
$x = 1 - t$の置換積分を用いると,
\begin{align}
\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x &= \int_1^0 \frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} + e^t} \, \left( - \mathrm{d}t \right) \nonumber \\
&= \int_0^1 \frac{e^{1 - t}}{e^t + e^{1 - t}} \, \mathrm{d}t
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x - \int_0^1 \frac{e^{1 - x}}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x &= 0 \label{eq_king_property-4}
\end{align}
となる. 一方で,
\begin{align}
\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x + \int_0^1 \frac{e^{1 - x}}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x &= \int_0^1 \mathrm{d}x = 1 \label{eq_king_property-5}
\end{align}
であるから, 式\eqref{eq_king_property-4}, \eqref{eq_king_property-5}をそれぞれの積分に対して連立方程式のような形で解けば,
\begin{align}
\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2} , \\
\int_0^1 \frac{e^{1 - x}}{e^x + e^{1 - x}} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2}
\end{align}
が得られる.
活用例(3)
次の積分を実行せよ：
\begin{align}
\int_0^6 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - 4 \right) \left( x - 5 \right) \, \mathrm{d}x .
\end{align}
(東京理科大 2021 改)
次の積分を実行せよ：
\begin{align}
\int_0^6 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - 4 \right) \left( x - 5 \right) \, \mathrm{d}x .
\end{align}
(東京理科大 2021 改)
$x = 6 - t$の置換積分を用いると,
\begin{align}
&\quad \int_0^6 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - 4 \right) \left( x - 5 \right) \, \mathrm{d}x \nonumber \\
&= \int_6^0 \left( 5 - t \right) \left( 4 - t \right) \left( 3 - t \right) \left( 2 - t \right) \left( 1 - t \right) \, \left( - \mathrm{d}t \right) \nonumber \\
&= \int_0^6 \left( 5 - t \right) \left( 4 - t \right) \left( 3 - t \right) \left( 2 - t \right) \left( 1 - t \right) \, \mathrm{d}t \nonumber \\
&= - \int_0^6 \left( t - 1 \right) \left( t - 2 \right) \left( t - 3 \right) \left( t - 4 \right) \left( t - 5 \right) \, \mathrm{d}t
\end{align}
となるから,
\begin{align}
2 \int_0^6 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - 4 \right) \left( x - 5 \right) \, \mathrm{d}x &= 0
\end{align}
となる. つまり,
\begin{align}
\int_0^6 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - 4 \right) \left( x - 5 \right) \, \mathrm{d}x &= 0
\end{align}
となる.
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