定積分に関する性質「King Property」の紹介-Shinoryo's Weblog

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King Propertyは, 関数 $f (x)$ の定積分に関する便利な性質です. ここでは, King Propertyとは何か, またどのように役立てることができるかについて紹介します.

1King Propertyとは
- 1.1King Propertyの証明
- 1.2King Propertyのイメージ
2King Propertyの活用例

King Propertyとは

King Propertyとは, 関数の定積分に関する次のような性質のことを指します.

King Property

関数 $f (x)$ の定積分に関して, 以下の式が成り立つ：

\begin{array}{r} (1) & \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x . \end{array}

ただし, $a$ , $b$ は定数である.

特に, $b = 0$ とすれば,

\begin{array}{r} (2) & \int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (a - x) d x \end{array}

が得られる.

King Propertyの証明

式 $(1)$ の右辺に対して, $u = a + b - x$ の置換積分を用いれば良いです. すると,

\begin{aligned} (3) & \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x & = \int_{b}^{a} f (u) (- d u) = \int_{a}^{b} f (u) d u \end{aligned}

が得られて, 式 $(1)$ を示すことができました.

King Propertyのイメージ

King Propertyのイメージは, 下図のようになります. 下図の1つ目と2つ目においては左右反転していただけなので, 色が塗られた面積は等しくなります. この左右の面積は, 式 $(1)$ の両辺に等しくなるため, 式 $(1)$ が成り立つというイメージです.

King Propertyの活用例

活用例(1)

次の積分を実行せよ：

\begin{array}{r} (4) & \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x . \end{array}

$x = π / 2 - t$ の置換積分を用いると,

\begin{aligned} \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x & = \int_{π / 2}^{0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - t)}{\sin (\frac{π}{2} - t) + \cos (\frac{π}{2} - t)} (- d t) \\ (5) & = \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} d t \end{aligned}

となるから,

\begin{aligned} (6) & \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x - \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x & = 0 \end{aligned}

となる. 一方で,

\begin{aligned} (7) & \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x + \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x & = \int_{0}^{π / 2} d x = \frac{π}{2} \end{aligned}

であるから, 式 $(6)$ , $(7)$ をそれぞれの積分に対して連立方程式のような形で解けば,

\begin{aligned} (8) & \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x & = \frac{π}{4}, \\ (9) & \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x & = \frac{π}{4} \end{aligned}

が得られる.

活用例(2)

次の積分を実行せよ：

\begin{array}{r} (10) & \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{1 - x}} d x . \end{array}

$x = 1 - t$ の置換積分を用いると,

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{1 - x}} d x & = \int_{1}^{0} \frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} + e^{t}} (- d t) \\ (11) & = \int_{0}^{1} \frac{e^{1 - t}}{e^{t} + e^{1 - t}} d t \end{aligned}

となるから,

\begin{aligned} (12) & \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{1 - x}} d x - \int_{0}^{1} \frac{e^{1 - x}}{e^{x} + e^{1 - x}} d x & = 0 \end{aligned}

となる. 一方で,

\begin{aligned} (13) & \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{1 - x}} d x + \int_{0}^{1} \frac{e^{1 - x}}{e^{x} + e^{1 - x}} d x & = \int_{0}^{1} d x = 1 \end{aligned}

であるから, 式 $(12)$ , $(13)$ をそれぞれの積分に対して連立方程式のような形で解けば,

\begin{aligned} (14) & \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{1 - x}} d x & = \frac{1}{2}, \\ (15) & \int_{0}^{1} \frac{e^{1 - x}}{e^{x} + e^{1 - x}} d x & = \frac{1}{2} \end{aligned}

が得られる.

活用例(3)

次の積分を実行せよ：

\begin{array}{r} (16) & \int_{0}^{6} (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) d x . \end{array}

(東京理科大 2021 改)

$x = 6 - t$ の置換積分を用いると,

\begin{aligned} \int_{0}^{6} (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) d x \\ = \int_{6}^{0} (5 - t) (4 - t) (3 - t) (2 - t) (1 - t) (- d t) \\ = \int_{0}^{6} (5 - t) (4 - t) (3 - t) (2 - t) (1 - t) d t \\ (17) & = - \int_{0}^{6} (t - 1) (t - 2) (t - 3) (t - 4) (t - 5) d t \end{aligned}

となるから,

\begin{aligned} (18) & 2 \int_{0}^{6} (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) d x & = 0 \end{aligned}

となる. つまり,

\begin{aligned} (19) & \int_{0}^{6} (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) d x & = 0 \end{aligned}

となる.

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活用例(1)

活用例(2)

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