Fermatの最終定理の無限降下法による証明($n=4$)

Fermatの最終定理は, 数学史上, 証明されるのが最も難しかった問題としてよく知られている. 一方で, Fermatの最終定理の$n=4$の場合については, 比較的証明方法が易しいこともまた知られている. ここでは, Fermatの最終定理の$n=4$の場合の証明について紹介する.

Fermatの最終定理とは

敢えて少し強い定理を考える

実際, Fermatの最終定理($n=4$)の否定が成り立つならば上の命題の否定が成り立つから, 上の命題が成り立つならばFermatの最終定理($n=4$)が成り立つ.

以下, そのような組$(x,y,z)$が存在すると仮定し, その矛盾を示す. その際, $x,y$が互いに素である場合のみを考えれば十分である.

原子Pythagoras数の性質を使う

• 原子Pythagoras数：$a,b,c$が互いに素であるPythagoras数$(a,b,c)$

命題より

であるから, $(x^2,y^2,z)$は原子Pythagoras数である. ゆえに,

• $m,n$は互いに素
• $m>n$
• $m-n$は奇数

を満たす$m,n\in \mathbb{N}$を用いて

と書き表せる.

式$\text{(4)}$を

と書き換えると, $(x,n,m)$は原子Pythagoras数である. 同様な自然数$r,s$を用いて

となる.

また, 式$\text{(5)}$より,

であるが, $m$, $n/2$は互いに素であるから, $m$も$n/2$も平方数でなければならない. 同様に, 式$\text{(9)}$より

であるから, $r$も$s$も平方数である.

以上より, $r,s,m$は$u,v,w\in \mathbb{N}$を用いて

と表すことができ, これを式$\text{(10)}$に代入すると,

を得る.

無限降下法

ここで, 式$\text{(6)}$より

であるから, この議論を繰り返すと, $x^4+y^4=z^2$を満たすような$z$がいくらでも小さい自然数の組$(x,y,z)$を構成できることになる. しかし, 自然数の最小が$1$であることに矛盾する.

以上より, 命題は成り立つから, Fermatの最終定理($n=4$)が成り立つ.