【日本語で解説】シンクロトロン放射のまとめ-Shinoryo's Weblog

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シンクロトロン放射とは, 光速に近い速度の荷電粒子が磁力線の周りを円運動しながら進むときに放出される電磁波のことである. ここでは, シンクロトロン放射のスペクトルの導出を行う.

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目次[非表示]

1速度を持った荷電粒子による電磁場生成
2サイクロトロン放射
3シンクロトロン放射
4参考文献
5脚注

速度を持った荷電粒子による電磁場生成

Liénard-Wiechertポテンシャル

Liénard-Wiechertポテンシャル(Liénard-Wiechert potential)：点電荷の運動によって生じる古典的な電磁場を記述する, Lorentzゲージにおけるポテンシャル.

電荷 $e$ を持った点電荷の運動の軌跡を $r_{0} (t)$ で与えると, 電荷密度 $ρ$ , 電流密度 $j$ は
$\begin{aligned} (1) & ρ (r, t) & = e δ (r - r_{0} (t)), \\ (2) & j (r, t) & = e {\dot{r}}_{0} (t) δ (r - r_{0} (t)), \\ (3) & {\dot{r}}_{0} (t) & = \frac{d r_{0} (t)}{d t} \end{aligned}$
のようになる(自分自身の作り出す電場や磁場の影響を受けないと仮定している).
遅延ポテンシャルは
$\begin{aligned} (4) & ϕ (r, t) = \int \frac{ρ (r^{'}, t - | r - r^{'} | / c)}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'}, \\ (5) & A (r, t) = \frac{1}{c} \int \frac{j (r^{'}, t - | r - r^{'} | / c)}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'} \end{aligned}$
で与えられ, これに電荷密度 $ρ$ , 電流密度 $j$ を代入すれば, 荷電粒子の作る電磁場を求めることができる.

$ε_{0}$ ：真空中の誘電率.
$μ_{0}$ ：真空中の透磁率.
遅延ポテンシャルは, 例えば位置 $r^{'}$ における電荷素片 $ρ (r^{'}, t - | r - r^{'} | / c) d^{3} r^{'}$ が^*1位置 $r$ に作り出すスカラーポテンシャルが
$\begin{array}{r} (6) & \frac{ρ (r^{'}, t - | r - r^{'} | / c)}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'} \end{array}$
であることを示しており, これを全 $r^{'}$ で積分したものが, 位置 $r$ に作り出すスカラーポテンシャルであることを意味している.

スカラーポテンシャルに関して計算すると,
$\begin{aligned} ϕ (r, t) & = e \int \frac{δ (r^{'} - r_{0} (t - | r - r^{'} | / c))}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'} \\ = e \int_{- \infty}^{\infty} d t \int d^{3} r^{'} \frac{δ (r^{'} - r_{0} (t^{'})) δ (t - t^{'} - | r - r^{'} | / c)}{| r - r^{'} |} \\ (7) & = e \int_{- \infty}^{\infty} d t \frac{1}{| r - r_{0} (t^{'}) |} δ (t - t^{'} - \frac{| r - r_{0} (t^{'}) |}{c}) \end{aligned}$
となる.
式 $(7)$ の $t^{'}$ 積分をするために, 新たな時間変数 $t^{''}$ を
$\begin{aligned} (8) & t^{''} & = t^{'} - t + \frac{R (r, t^{'})}{c} \end{aligned}$
のように定義して変数変換する.

$R (r, t) = r - r_{0} (t)$
$R (r, t^{'}) = | r - r_{0} (t) |$
$n (r, t^{'})$ ：時刻 $t^{'}$ の荷電粒子から位置 $r$ に向かう単位ベクトル,
$\begin{aligned} (9) & n (r, t) & = \frac{R (r, t)}{R (r, t)} = \frac{r - r_{0} (t)}{| r - r_{0} (t) |} . \end{aligned}$
$β (t^{'})$ ：光速で規格化した荷電粒子の速度,
$\begin{aligned} (10) & β (t^{'}) & = \frac{{\dot{r}}_{0} (t^{'})}{c} . \end{aligned}$
$d t^{''}$ は
$\begin{aligned} d t^{''} & = (1 + \frac{1}{c} \frac{d R (r, t^{'})}{d t^{'}}) d t^{'} \\ (11) & = (1 - n (r, t^{'}) \cdot β (t^{'})) d t^{'} \end{aligned}$
と書ける. 荷電粒子の速度 ${\dot{r}}_{0} (t^{'})$ は光速を超えないので $| β (t^{'}) | < 1$ が保証され, このことによって $t^{''}$ は $t^{'}$ の単調関数となる. したがって, $t^{''}$ の積分範囲も $\int_{- \infty}^{\infty}$ となり, $t^{''} = 0$ を満たす $t^{'}$ も一意に決まる.

ここまでの結果を用いて式 $(7)$ の積分を実行すると,
$\begin{array}{r} (12) & ϕ (r, t) = e \int_{- \infty}^{\infty} d t^{''} \frac{δ (t^{''})}{κ (r, t^{'}) R (r, t^{'})} = \frac{e}{κ (r, t_{ret}) R (r, t_{ret})} \end{array}$
となる(Liénard-Wiechertスカラーポテンシャル).

$κ (r, t) = 1 - n (r, t) \cdot β (t)$
$t_{ret}$ ：次の方程式の解で定義される遅延時間,
$\begin{aligned} (13) & t_{ret} & = t - \frac{R (t_{ret})}{c} . \end{aligned}$

ベクトルポテンシャルに対する計算結果も同様になり,
$\begin{array}{r} (14) & A (r, t) = \frac{e β (t_{ret})}{κ (r, t_{ret}) R (r, t_{ret})} \end{array}$
となる(Liénard-Wiechertベクトルポテンシャル).

速度場・輻射場

Liénard-Wiechertポテンシャルを
$\begin{aligned} (15) & E (r, t) = - \nabla ϕ (r, t) - \frac{1}{c} \frac{\partial A (r, t)}{\partial t}, \\ (16) & B (r, t) = \nabla \times A (r, t) \end{aligned}$
に代入すれば, 対応する電磁場が求まると考えられる. しかし, 以下の理由により, 偏微分を行う際には注意する必要がある.

$ϕ$ , $A$ は $t_{ret}$ で書かれてしまっているため.
$t_{ret}$ は式 $(13)$ より $t$ , $r$ に依存するため.

あらかじめ, この後出てくる量を計算しておく：
$\begin{aligned} (17) & {(\frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} & = I (単位テンソル), \\ (18) & \frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} & = - {\dot{r}}_{0} (t_{ret}) = - c β (t_{ret}), \\ (19) & {(\frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} & = \frac{R (r, t_{ret})}{R (r, t_{ret})} \cdot {(\frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} = n (r, t_{ret}), \\ (20) & \frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} & = \frac{R (r, t_{ret})}{R (r, t_{ret})} \cdot \frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} = - c n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret}), \\ {(\frac{\partial n (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} & = \frac{1}{R (r, t_{ret})} {(\frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} + R (r, t_{ret}) {(\frac{\partial \frac{1}{R (r, t_{ret})}}{\partial r})}^{*} \\ = \frac{I}{R (r, t_{ret})} - \frac{n (r, t_{ret})}{R (r, t_{ret})} {(\frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} \\ (21) & = \frac{I}{R (r, t_{ret})} - \frac{n (r, t_{ret}) \otimes n (r, t_{ret})}{R (r, t_{ret})}, \\ \frac{\partial n (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} & = \frac{1}{R (r, t_{ret})} \frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} + R (r, t_{ret}) \frac{\partial \frac{1}{R (r, t_{ret})}}{\partial t_{ret}} \\ = - \frac{c β (t_{ret})}{R (r, t_{ret})} - \frac{n (r, t_{ret})}{R (r, t_{ret})} \frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} \\ (22) & = - \frac{c β (t_{ret})}{R (r, t_{ret})} + \frac{c n (r, t_{ret}) (n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret}))}{R (r, t_{ret})}, \\ {(\frac{\partial κ (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} & = - {(\frac{\partial n (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} \cdot β (t_{ret}) \\ (23) & = - \frac{β (t_{ret})}{R (r, t_{ret})} + \frac{n (r, t_{ret}) (n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret}))}{R (r, t_{ret})}, \\ \frac{\partial κ (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} & = - \frac{\partial n (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} \cdot β (t_{ret}) - n (r, t_{ret}) \cdot \frac{\partial β (t_{ret})}{\partial t_{ret}} \\ (24) & = \frac{c β^{2} (t_{ret})}{R (r, t_{ret})} - \frac{c {(n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret}))}^{2}}{R (r, t_{ret})} - n (r, t_{ret}) \cdot \dot{β} (t_{ret}) . \end{aligned}$

$^{*}$ での $r$ 微分は陽に含まれるものを表す.

$t$ の偏微分の変換式として
$\begin{aligned} (25) & \frac{\partial}{\partial t} & = \frac{1}{κ (r, t_{ret})} \frac{\partial}{\partial t_{ret}} \end{aligned}$
が得られる.

$t$ の偏微分は
$\begin{aligned} (26) & \frac{\partial}{\partial t} & = \frac{\partial t_{ret}}{\partial t} \frac{\partial}{\partial t_{ret}} \end{aligned}$
のようになる( $t$ に陽に依存する項はない).
式 $(13)$ の両辺を $t$ で微分すると
$\begin{aligned} \frac{\partial t_{ret}}{\partial t} & = 1 - \frac{1}{c} \frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} \frac{\partial t_{ret}}{\partial t} \\ (27) & = 1 + n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret}) \frac{\partial t_{ret}}{\partial t} \end{aligned}$
となり, これを整理すると
$\begin{aligned} (28) & \frac{\partial t_{ret}}{\partial t} & = \frac{1}{κ (r, t_{ret})} \end{aligned}$
となる.

$r$ の偏微分の変換式として
$\begin{aligned} (29) & \frac{\partial}{\partial r} & = {(\frac{\partial}{\partial r})}^{*} - \frac{n (r, t_{ret})}{c κ (r, t_{ret})} \frac{\partial}{\partial t_{ret}} \end{aligned}$
が得られる.

$r$ の偏微分は
$\begin{aligned} (30) & \frac{\partial}{\partial r} & = {(\frac{\partial}{\partial r})}^{*} + \frac{\partial t_{ret}}{\partial r} \frac{\partial}{\partial t_{ret}} \end{aligned}$
のようになる.
式 $(13)$ の両辺を $r$ で微分すると
$\begin{aligned} \frac{\partial t_{ret}}{\partial r} & = - \frac{1}{c} (\frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial r} + \frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial t_{ret}} \frac{\partial t_{ret}}{\partial r}) \\ (31) & = - \frac{1}{c} (n (r, t_{ret}) - c n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret}) \frac{\partial t_{ret}}{\partial r}) \end{aligned}$
となり, これを整理すると
$\begin{aligned} (32) & \frac{\partial t_{ret}}{\partial r} & = - \frac{n (r, t_{ret})}{c κ (r, t_{ret})} \end{aligned}$
となる.

あらかじめ, この後出てくる量を計算しておく：
$\begin{aligned} {(\frac{\partial κ (r, t_{ret}) R (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} \\ = {(\frac{\partial κ (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} R (r, t_{ret}) + κ (r, t_{ret}) {(\frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial r})}^{*} \\ = - β (t_{ret}) + n (r, t_{ret}) (n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret})) + κ (r, t_{ret}) n (r, t_{age}) \\ (33) & = n (r, t_{age}) - β (r, t_{age}), \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial κ (r, t_{ret}) R (r, t_{ret})}{\partial t_{age}} \\ = \frac{\partial κ (r, t_{ret})}{\partial t_{age}} R (r, t_{ret}) + κ (r, t_{ret}) \frac{\partial R (r, t_{ret})}{\partial t_{age}} \\ = c β^{2} (t_{ret}) - c {(n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret}))}^{2} - R (r, t_{ret}) n (r, t_{ret}) \cdot \dot{β} (t_{ret}) \\ - c κ (r, t_{ret}) n (r, t_{ret}) \cdot β (r, t_{ret}) \\ (34) & = c β^{2} (t_{ret}) - c n (r, t_{ret}) \cdot β (t_{ret}) - R (r, t_{ret}) n (r, t_{ret}) \cdot \dot{β} (t_{ret}) . \end{aligned}$
$- \nabla ϕ$ を計算すると( $ϕ$ の表式は式 $(12)$ を参照)^*2,
$\begin{aligned} - \nabla ϕ & = - {(\frac{\partial ϕ}{\partial r})}^{*} + \frac{n}{c κ} \frac{\partial ϕ}{\partial t_{ret}} \\ = \frac{e}{κ^{2} R^{2}} {(\frac{\partial (κ R)}{\partial r})}^{*} - \frac{e n}{c κ^{3} R^{2}} \frac{\partial (κ R)}{\partial t_{ret}} \\ = \frac{e (n - β)}{κ^{2} R^{2}} - \frac{e n β^{2}}{κ^{3} R^{2}} + \frac{e n (n \cdot β)}{κ^{3} R^{2}} + \frac{e n (n \cdot \dot{β})}{c κ^{3} R} \\ (35) & = \frac{e (n - β) - e n (β \cdot β) + e β (n \cdot β)}{κ^{3} R^{2}} + \frac{e n (n \cdot \dot{β})}{c κ^{3} R} \end{aligned}$
となる.
$- \frac{1}{c} \frac{\partial A}{\partial t}$ を計算すると( $A$ の表式は式 $(14)$ を参照),
$\begin{aligned} - \frac{1}{c} \frac{\partial A}{\partial t} & = - \frac{e}{c κ} (\frac{\partial}{\partial t_{ret}} \frac{β}{κ R}) \\ = \frac{e β}{c κ^{3} R^{2}} \frac{\partial (κ R)}{\partial t_{ret}} - \frac{e \dot{β}}{c κ^{2} R} \\ = \frac{e β (c β^{2} - c n \cdot β - R (n \cdot \dot{β}))}{c κ^{3} R^{2}} - \frac{e \dot{β}}{c κ^{2} R} \\ (36) & = \frac{e β (β \cdot β) - e β (n \cdot β)}{κ^{3} R^{2}} + \frac{e \dot{β} (n \cdot β) - e β (n \cdot \dot{β}) - e \dot{β}}{c κ^{3} R} \end{aligned}$
となる.
式 $(35)$ , $(36)$ より, 生じる電場 $E$ は
$\begin{array}{r} (37) & \begin{aligned} E (r, t) & = \frac{e (n (r, t_{ret}) - β (t_{ret})) (1 - β^{2} (t_{ret}))}{κ^{3} (r, t_{ret}) R^{2} (r, t_{ret})} \\ + \frac{e n (r, t_{ret}) \times ((n (r, t_{ret}) - β (t_{ret})) \times \dot{β} (t_{ret}))}{c κ^{3} (r, t_{ret}) R (r, t_{ret})} \end{aligned} \end{array}$
となる.

計算過程は
$\begin{aligned} E & = \frac{e (n - β) - (n - β) (β \cdot β)}{κ^{3} R^{2}} + \frac{e (n (n \cdot \dot{β}) - β (n \cdot \dot{β}) - \dot{β} + \dot{β} (n \cdot β))}{c κ^{3} R} \\ = \frac{e (n - β) (1 - β^{2})}{κ^{3} R^{2}} + \frac{e (n \times (n \times \dot{β}) - n (β \times \dot{β}))}{c κ^{3} R} \\ (38) & = \frac{e (n - β) (1 - β^{2})}{κ^{3} R^{2}} + \frac{e n \times ((n - β) \times \dot{β})}{c κ^{3} R} \end{aligned}$
のようになる.
$n \cdot n = 1$ およびベクトル解析の公式
$\begin{aligned} (39) & A \times (B \times C) & = (A \cdot C) B - (A \cdot B) C \end{aligned}$
を用いた.

${(\frac{\partial}{\partial r} \times A)}^{*}$ を計算すると,
$\begin{aligned} {(\frac{\partial}{\partial r} \times A)}^{*} & = e {(\frac{\partial}{\partial r} \frac{1}{κ R})}^{*} \times β \\ = \frac{β}{κ^{2} R^{2}} \times {(\frac{\partial (κ R)}{\partial r})}^{*} \\ = \frac{β \times (n - β)}{κ^{2} R^{2}} \\ = - \frac{n \times β}{κ^{2} R^{2}} \\ (40) & = \frac{(n \cdot β) n \times β - n \times β}{κ^{3} R^{2}} \end{aligned}$
となる.

ベクトル解析の公式
$\begin{aligned} (41) & \nabla \times f A & = \nabla f \times A + f \nabla \times A \end{aligned}$
を用いた.

式 $(40)$ より, 生じる磁場 $B$ は
$\begin{array}{r} (42) & B (r, t) = n (r, t_{ret}) \times E (r, t) \end{array}$
となる.

計算過程は
$\begin{aligned} B & = \nabla \times A \\ = {(\frac{\partial}{\partial r} \times A)}^{*} - \frac{n}{c κ} \times \frac{\partial A}{\partial t_{ret}} \\ = \frac{(n \cdot β) n \times β - n \times β}{κ^{3} R^{2}} + \frac{n}{κ} \times \frac{e β (β \cdot β) - e β (n \cdot β)}{κ^{2} R^{2}} \\ - \frac{n}{κ} \times \frac{e β (n \cdot \dot{β}) + e \dot{β} - e \dot{β} (n \cdot β)}{c κ^{2} R} \\ = n \times \frac{e (n - β) (1 - β^{2})}{κ^{3} R^{2}} + n \times \frac{e n \times ((n - β) \times \dot{β})}{κ^{3} R} \\ (43) & = n \times E \end{aligned}$
のようになる.
$β \times β = 0$ , $n \cdot n = 1$ およびベクトル解析の公式 $(39)$ を用いた.

式 $(37)$ の第1項は速度場, 第2項は輻射場と呼ばれる.
速度場の特徴は以下の通りである：

強度は(荷電粒子と観測者との)距離の2乗に反比例して減少する.
荷電粒子が静止しているとき, 電場はCoulombの法則と一致し, 磁場はゼロになる.

輻射場の特徴は以下の通りである：

荷電粒子が加速度をもつときのみ存在する.
強度は(荷電粒子と観測者との)距離に反比例して減少する.
電場, 磁場の向きは $n$ と直交する. 伝播方向は $n$ である.

ニアーゾーン(near zone)：荷電粒子の近くの, 速度場が卓越する領域.
ファーゾーン(far zone)：荷電粒子から十分離れた, 輻射場が卓越する領域.
ファーゾーンではPoyntingベクトルが
$\begin{aligned} (44) & S (r, t) & = \frac{c}{4 π} E (r, t) \times B (r, t) = \frac{e^{2}}{4 π} \frac{{| n \times ((n - β) \times \dot{β}) |}^{2}}{κ^{6} R^{2}} n \end{aligned}$
となる.

荷電粒子を取り囲む十分遠方の閉曲面 $Σ$ から輻射場によって持ち出される単位時間あたりのエネルギー量は
$\begin{array}{r} (45) & Σ | S | \propto R^{2} R^{- 2} = 一定 \end{array}$
で, 荷電粒子から閉曲面までの距離によらず一定である.
$\Rightarrow$ 輻射場は無限遠方に電磁場のエネルギーを持ち運べる.
$\Rightarrow$ この性質ゆえ, 輻射場あるいは電磁波と呼ばれる.

$E$ の輻射場の非相対論的極限 $| β | ≪ 1$ は,
$\begin{array}{r} (46) & E (r, t) \to \frac{e n (r, t_{ret}) \times (n (r, t_{ret}) \times \dot{v} (t_{ret}))}{c^{2} R (r, t_{ret})} \end{array}$
となる.

輻射場のFourierスペクトル

輻射場によって持ち出される単位時間, 単位面積あたりのエネルギー量：
$\begin{aligned} (47) & \frac{d W}{d t d A} & = | S | = \frac{c}{4 π} E^{2} (r, t) . \end{aligned}$
輻射場によって持ち出される単位面積あたりのエネルギー量：
$\begin{aligned} (48) & \frac{d W}{d A} & = \frac{c}{4 π} \int_{- \infty}^{\infty} d t E^{2} (r, t) . \end{aligned}$
輻射場 $E (r, t)$ をFourier変換して
$\begin{aligned} (49) & E (r, ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} d t E (r, t) \end{aligned}$
とする^*3と, Parsevalの公式から
$\begin{aligned} (50) & \frac{d W}{d A} & = \frac{c}{2} \int_{- \infty}^{\infty} d ω {| E (r, ω) |}^{2} \end{aligned}$
となる. このことから, 輻射場によって持ち出される単位周波数, 単位面積あたりのエネルギー量は
$\begin{array}{r} (51) & \frac{d W}{d A d ω} = \frac{c}{2} {| E (r, ω) |}^{2} \end{array}$
となる.
輻射場のFourier変換は, 式 $(37)$ の輻射場の項をFourier変換することによって, 次のように与えられる：
$\begin{aligned} (52) & E (r, ω) & = \frac{e}{c} \int_{- \infty}^{\infty} d t \frac{n (r, t) \times ((n (r, t) - β (t)) \times \dot{β} (t))}{κ^{(} r, t) R (r, t)} e^{- i ω t} . \end{aligned}$

全時間で積分をするので, 被積分関数の引数は $t$ で記述している.

以下を仮定する：

観測者が荷電粒子から十分離れていてその変化が無視できるほど小さいとし, $R (r, t)$ , $n (r, t) = (r - r_{0} (t)) / R (r, t)$ の時間変化は無視する.
積分変数 $t$ を $t_{ret} = t - R (t_{ret}) / c$ で定められる変数 $t_{ret}$ に書き換える. その際,
$\begin{aligned} (53) & d t & = κ (t_{ret}) d t_{ret} \end{aligned}$
に注意する.
これ以降, 引数としての $r$ はさほど重要ではないので, 省略する.

すると, 以下の式を得る：
$\begin{aligned} (54) & E (r, ω) & = \frac{e}{c R} e^{- i ω n \cdot r / c} \int_{- \infty}^{\infty} d t_{ret} \frac{n \times ((n - β (t_{ret})) \times \dot{β} (t_{ret}))}{κ^{2} (t_{ret})} e^{- i ω (t_{ret} - n \cdot r_{0} (t_{ret}) / c)} . \end{aligned}$
さらに, 部分積分を実行することにより, 以下の式を得る：
$\begin{array}{r} (55) & E (r, ω) = \frac{i e ω}{c R} e^{- i ω n \cdot r / c} \int_{- \infty}^{\infty} d t_{ret} n \times (n \times β (t)) e^{- i ω (t_{ret} - n \cdot r_{0} (t_{ret}) / c)} . \end{array}$

部分積分には, 以下の式を用いる：
$\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{n \times (n \times β (t))}{κ (t)}) \\ = \frac{n \times (n \times \dot{β} (t))}{κ (t)} - \frac{n \times (n \times β (t))}{κ^{2} (t)} \frac{d κ (t)}{d t} \\ = \frac{n \times (n \times \dot{β} (t)) (1 - n \cdot β (t))}{κ^{2} (t)} + \frac{n \times (n \times β (t)) (n \cdot \dot{β} (t))}{κ^{2} (t)} \\ = \frac{n \times (n \times \dot{β} (t)) + n \times (n \times (n \cdot \dot{β} (t)) β (t) - (n \cdot β (t)) \dot{β} (t))}{κ^{2} (t)} \\ = \frac{n \times (n \times \dot{β} (t)) + n \times (n \times (n \times (β (t) \times \dot{β} (t))))}{κ^{2} (t)} \\ = \frac{n \times (n \times \dot{β} (t)) + (n \cdot (n \times (β (t) \times \dot{β} (t)))) n - (n \cdot n) (n \times (β (t) \times \dot{β} (t)))}{κ^{2} (t)} \\ = \frac{n \times (n \times \dot{β} (t)) - (n \times (β (t) \times \dot{β} (t)))}{κ^{2} (t)} \\ (56) & = \frac{n \times ((n - β (t)) \times \dot{β} (t))}{κ^{2} (t)} . \end{aligned}$
計算過程は, 以下のようになる：
$\begin{aligned} E (r, ω) & = \frac{e}{c R} e^{- i ω n \cdot r / c} {[\frac{n \times (n \times β (t_{ret}))}{κ (t_{ret})} e^{- i ω (t_{ret} - n \cdot r_{0} (t_{ret}) / c)}]}_{- \infty}^{\infty} \\ - \frac{e}{c R} e^{- i ω n \cdot r / c} \int_{- \infty}^{\infty} d t_{ret} \frac{n \times (n \times β (t_{ret}))}{κ (t_{ret})} (- i ω (1 - n \cdot β (t_{ret}))) \\ \cdot e^{- i ω (t_{ret} - n \cdot r_{0} (t_{ret}) / c)} \\ (57) & = \frac{i e ω}{c R} e^{- i ω n \cdot r / c} \int_{- \infty}^{\infty} d t_{ret} n \times (n \times β (t)) e^{- i ω (t_{ret} - n \cdot r_{0} (t_{ret}) / c)} . \end{aligned}$
荷電粒子の軌道 $r_{0} (t)$ を式 $(55)$ に代入すれば, その荷電粒子から放射される輻射場のスペクトルが求められる.

サイクロトロン放射

サイクロトロン放射(cyclotron radiation)：磁場中を(非相対論的)荷電粒子(主に電子, 以下は電子の場合を考える)がLorentz力を受けて運動することにより, 電磁波を放射するメカニズムの名前. ジャイロ放射(gyro radiation)とも. [1]

初期設定(図1)

$z$ 軸正の方向に貫く一様磁場 $B$ が存在するとする.
電子は $z = 0$ の平面内に存在する.
電子の初速度を $t = 0$ で $(v_{x}, v_{y}, v_{z}) = (0, v_{0}, 0)$ とする.

図1 サイクロトロン放射の初期設定.

このときの電子の運動方程式は
$\begin{aligned} (58) & m_{e} \frac{d v}{d t} & = - \frac{e}{c} v \times B \end{aligned}$
となり^*4, 成分ごとに表示すれば
$\begin{aligned} (59) & m_{e} \frac{d v_{x}}{d t} & = - \frac{e B}{c} v_{y}, \\ (60) & m_{e} \frac{d v_{y}}{d t} & = \frac{e B}{c} v_{x} \end{aligned}$
となる.
方程式 $(59)$ , $(60)$ は, 例えば以下のようにして解くことができる.

方程式 $(59)$ , $(60)$ を連立微分方程式として行列形式で表すと,
$\begin{aligned} m_{e} \frac{d}{d t} (\begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \end{array}) & = e B (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \end{array}) \\ (61) & = e B (\begin{array}{c} - i & i \\ 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} - i & 0 \\ 0 & i \end{array}) (\begin{array}{c} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) (\begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \end{array}) \end{aligned}$
となり, つまり
$\begin{aligned} (62) & m_{e} \frac{d}{d t} (\begin{array}{c} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) (\begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \end{array}) & = e B (\begin{array}{c} - i & 0 \\ 0 & i \end{array}) (\begin{array}{c} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) (\begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \end{array}) \end{aligned}$
となる^*5：.
式 $(62)$ を解くと, $C_{1}$ , $C_{2}$ を任意定数として,
$\begin{aligned} (63) & \frac{i}{2} v_{x} + \frac{1}{2} v_{y} & = C_{1} e^{- i \frac{e B}{m_{e} c} t}, \\ (64) & \frac{i}{2} v_{x} + \frac{1}{2} v_{y} & = C_{2} e^{i \frac{e B}{m_{e} c} t} \end{aligned}$
となる. $v_{x}$ , $v_{y}$ に関して整理すれば,
$\begin{aligned} (65) & v_{x} & = i (C_{1} e^{- i \frac{e B}{m_{e} c} t} - C_{2} e^{i \frac{e B}{m_{e} c} t}), \\ (66) & v_{y} & = C_{1} e^{- i \frac{e B}{m_{e} c} t} + C_{2} e^{i \frac{e B}{m_{e} c} t} \end{aligned}$
となる.
$t_{0}$ において $v_{x} = 0$ , $v_{y} = v_{0}$ であることから,
$\begin{aligned} (67) & C_{1} & = \frac{v_{0}}{2} = C_{2} \end{aligned}$
となる. 式 $(67)$ を式 $(65)$ , $(66)$ に代入して,
$\begin{aligned} (68) & v_{x} & = i \frac{v_{0}}{2} (e^{- i \frac{e B}{m_{e} c} t} - e^{i \frac{e B}{m_{e} c} t}) = - v_{0} \sin (\frac{e B}{m_{e} c} t), \\ (69) & v_{y} & = \frac{v_{0}}{2} (e^{- i \frac{e B}{m_{e} c} t} + e^{i \frac{e B}{m_{e} c} t}) = v_{0} \cos (\frac{e B}{m_{e} c} t) \end{aligned}$
となる.

式 $(68)$ , $(69)$ における周波数
$\begin{array}{r} (70) & ω_{c e} = \frac{e B}{m_{e} c} \end{array}$
はサイクロトロン周波数(cyclotron frequency)と呼ばれる.

$Hz$ で計算すると,
$\begin{aligned} (71) & ν_{c e} & = 2.8 (\frac{B}{10^{- 6} G}) Hz \end{aligned}$
となる.

求めた $v$ (式 $(68)$ , $(69)$ )を式 $(59)$ , $(60)$ に代入すると,
$\begin{aligned} (72) & m_{e} \frac{d v_{x}}{d t} & = - \frac{e v_{0} B}{c} \cos ω_{c e} t, \\ (73) & m_{e} \frac{d v_{y}}{d t} & = - \frac{e v_{0} B}{c} \sin ω_{c e} t \end{aligned}$
となる. つまり, 電子の加速度ベクトル $\dot{v}$ は
$\begin{aligned} (74) & \dot{v} & = - \frac{e v_{0} B}{m_{e} c} e_{x} \cos ω_{c e} t - \frac{e v_{0} B}{m_{e} c} e_{y} \sin ω_{c e} t \end{aligned}$
のように書ける.
考えている系は軸対称であるから, $z$ 軸となす角 $θ$ の $n$ の方向に散乱される電磁波を考える. $n$ は $y z$ 平面内にあるとする：
$\begin{aligned} (75) & n & = e_{y} \sin θ + e_{z} \cos θ . \end{aligned}$
ここでは非相対論的な荷電粒子を考えているから, 式 $(46)$ に式 $(74)$ , $(75)$ を代入して,
$\begin{array}{r} (76) & E (r, t) = \frac{e}{c^{2} R (r, t_{ret})} (a_{1} \cos ω_{c e} t + a_{2} \cos θ \cos (ω_{c e} t - π / 2)) \end{array}$
となる.

$a_{1} = - e_{x}$ ：散乱波の偏光ベクトル1つ目.
$a_{2} = - e_{y} \cos θ + e_{z} \sin θ$ ：散乱波の偏光ベクトル2つ目.

サイクロトロン放射： $ω = ω_{c e}$ の単色の電磁波を放射.

星間磁場等の宇宙の希薄プラズマ中の磁場：約 $10^{- 6} G$ ^*6：.
サイクロトロン周波数は非常に低く, 観測にかかることはない.

シンクロトロン放射

シンクロトロン放射の概要

シンクロトロン放射(synchrotron radiation)：光速に近い速度の荷電粒子(主に電子, 以下は電子の場合を考える)が磁力線の周りを円運動しながら進むときに放出される電磁波. [3]

初期設定は図1と同様にする.
光速に近い速度の電子を考えるので, 相対論的に考えなければならない.

$η^{μ ν} = diag (- 1, 1, 1, 1)$ ：Minkowski計量.
$γ = 1 / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ ：Lorentz因子(Lorentz factor).
$d τ = d t / γ$ ：固有時(proper time).
$u^{μ} = (γ c, γ v)$ ：相対論的な4元速度.
$p^{μ} = m_{e} u^{μ} = (m γ c, m γ v)$ ：相対論的な4元運動量.
4元力 $F^{μ}$ を用いて, 相対論的な4元運動方程式は
$\begin{aligned} (77) & \frac{d p^{μ}}{d τ} & = F^{μ} \end{aligned}$
と書ける.
相対論的な電磁気学では, 電磁場テンソル(electromagnetic field tensor)
$\begin{array}{r} (78) & (f_{μ ν}) = (\begin{array}{c} 0 & - E_{x} & - E_{y} & - E_{z} \\ E_{x} & 0 & B_{z} & - B_{y} \\ E_{y} & - B_{z} & 0 & B_{x} \\ E_{z} & B_{y} & - B_{x} & 0 \end{array}) \end{array}$
が用いられ, これを用いるとLorentz力は
$\begin{aligned} (79) & F^{μ} & = e η^{μ ν} f_{ν λ} u^{λ} \end{aligned}$
と書ける.
以上から, 電磁場中を運動する電子の相対論的な運動方程式は
$\begin{aligned} (80) & \frac{d}{d t} (γ m_{e} c^{2}) & = - e E \cdot v, \\ (81) & \frac{d}{d t} (γ m_{e} v) & = - e E - \frac{e}{c} v \times B \end{aligned}$
と書ける.

今の場合, 一様磁場であるから,
$\begin{aligned} (82) & \frac{d}{d t} (γ m_{e} c^{2}) & = 0, \\ (83) & \frac{d}{d t} (γ m_{e} v) & = - \frac{e}{c} v \times B \end{aligned}$
となる.
式 $(82)$ より, $γ = 一定$ となり, 電子のエネルギーが保存することが示される. この事実を用いて式 $(83)$ を表すと,
$\begin{aligned} (84) & \frac{d v}{d t} & = - \frac{e}{γ m_{e} c} v \times B \end{aligned}$
となる.
サイクロトロン放射の場合と同様に考えれば, 電子は角周波数
$\begin{array}{r} (85) & ω_{s e} = \frac{e B}{γ m_{e} c} \end{array}$
の回転運動をすることがわかる(シンクロトロン周波数(synchrotron frequency)).

$Hz$ で計算すると,
$\begin{aligned} (86) & ν_{s e} & = 2.8 (\frac{B}{10^{- 6} G}) {(\frac{γ}{1})}^{- 1} Hz \end{aligned}$
となる.

シンクロトロン放射のスペクトル

シンクロトロン放射のスペクトルを求めるために, Fourier級数展開することにする.

電子の運動が周期 $2 π / ω_{s e}$ の周期運動であるから, Fourier級数展開をするのが適当である.

式 $(55)$ において $e \to - e$ として, またFourier級数展開を行うために,
$\begin{aligned} (87) & \int_{- \infty}^{\infty} d t_{ret} & = \frac{ω_{s e}}{2 π} \int_{0}^{2 π / ω_{s e}} d t_{ret} \end{aligned}$
とすることによって, 以下の式を得る：
$\begin{aligned} (88) & E (r, ω) & = - \frac{i e ω ω_{s e}}{2 π c R} e^{- i ω n \cdot r / c} \int_{0}^{2 π / ω_{s e}} d t_{ret} n \times (n \times β (t_{ret}))) e^{- i n ω_{s e} (t_{ret} - n \cdot r_{0} (t_{ret}))} \end{aligned}$

Fourier級数展開を行うので, $ω = n ω_{s e}$ としている.

今の場合の初期設定では,
$\begin{aligned} (89) & n & = e_{y} \sin θ + e_{z} \cos θ, \\ (90) & v (t) & = - v_{0} e_{x} \sin ω_{s e} t + v_{0} e_{y} \cos ω_{s e} t, \\ (91) & r_{0} (t) & = \frac{v_{0}}{ω_{s e}} \cos ω_{s e} t + \frac{v_{0}}{ω_{s e}} \sin ω_{s e} t \end{aligned}$
となるから,
$\begin{aligned} (92) & \frac{n \cdot r_{0} (t)}{c} & = \frac{v_{0}}{ω_{s e} c} \sin θ \sin ω_{s e} t, \\ n \times (n \times β (t)) & = (n \cdot β (t)) n - (n \cdot n) β \\ = \frac{v_{0}}{c} e_{x} \sin ω_{s e} t + \frac{v_{0}}{c} (\sin^{2} θ - 1) e_{y} \cos ω_{s e} t + \frac{v_{0}}{c} e_{z} \sin θ \cos θ \cos ω_{s e} t \\ (93) & = \frac{v_{0}}{c} e_{x} \sin ω_{s e} t - \frac{v_{0}}{c} \cos^{2} θ e_{y} \cos ω_{s e} t + \frac{v_{0}}{c} e_{z} \sin θ \cos θ \cos ω_{s e} t \end{aligned}$
となる.
上記から, 輻射場のスペクトル $(55)$ の $x$ 成分, $y$ 成分, $z$ 成分を計算すると, 以下のようになる：
$\begin{aligned} E_{x} (r, ω) & = - \frac{i e ω ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \int_{0}^{2 π / ω_{s e}} d t_{ret} \sin ω_{s e} t_{ret} \\ \cdot e^{- i n ω_{s e} t_{ret} + i n ω_{s e} \frac{v_{0}}{ω_{s e} c} \sin θ \sin ω_{s e} t_{ret}} \\ (94) & = - \frac{i n e ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ + i \frac{n v_{0}}{c} \sin θ \sin φ} \sin φ, \\ E_{y} (r, ω) & = \frac{i e ω ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \cos^{2} θ \int_{0}^{2 π / ω_{s e}} d t_{ret} \cos ω_{s e} t_{ret} \\ \cdot e^{- i n ω_{s e} t_{ret} + i n ω_{s e} \frac{v_{0}}{ω_{s e} c} \sin θ \sin ω_{s e} t_{ret}} \\ (95) & = \frac{i n e ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \cos^{2} θ \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ + i \frac{n v_{0}}{c} \sin θ \sin φ} \cos φ, \\ E_{z} (r, ω) & = - \frac{i e ω ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \sin θ \cos θ \int_{0}^{2 π / ω_{s e}} d t_{ret} \cos ω_{s e} t_{ret} \\ \cdot e^{- i n ω_{s e} t_{ret} + i n ω_{s e} \frac{v_{0}}{ω_{s e} c} \sin θ \sin ω_{s e} t_{ret}} \\ (96) & = - \frac{i n e ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \sin θ \cos θ \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ + i \frac{n v_{0}}{c} \sin θ \sin φ} \cos φ . \end{aligned}$

Bessel関数を用いて整理されたシンクロトロン放射のスペクトル

式 $(94)$ , $(95)$ , $(96)$ をさらに整理するために, Bessel関数(Bessel function) $J_{n} (z)$ を用いる.

Bessel関数は, 以下のBesselの微分方程式
$\begin{aligned} (97) & z^{2} \frac{d^{2} J_{n} (z)}{d z^{2}} + z \frac{d J_{n} (z)}{d z} + (z^{2} - n^{2}) J_{n} (z) & = 0 \end{aligned}$
の解である. $n = 0, 1, 2, 3$ の場合のBessel関数 $J_{n} (z)$ を図2に示す.
$n$ ：任意の整数(Bessel関数の次数と呼ばれる)^*7.

図2

n = 0, 1, 2, 3

の場合のBessel関数

J_{n} (z)

Besselの積分表示：
$\begin{array}{r} (98) & J_{n} (z) = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} d φ \cos (n φ - z \sin φ) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ} e^{i z \sin φ} . \end{array}$

$\cos$ を $\exp$ に変換すると,
$\begin{aligned} J_{n} (z) & = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} d φ \cos (n φ - z \sin φ) \\ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d φ (e^{i (n φ - z \sin φ)} + e^{- i (n φ - z \sin φ)}) \\ (99) & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d φ (e^{i n φ} e^{- i z \sin φ} + e^{- i n φ} e^{i z \sin φ}) \end{aligned}$
となる.
ここで, $φ \to - φ$ , $φ \to φ + 2 π$ の変数変換を行えば,
$\begin{aligned} \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d φ e^{i n φ} e^{- i z \sin φ} & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{- π} (- d φ) e^{- i n φ} e^{i z \sin φ} \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{0} d φ e^{- i n φ} e^{i z \sin φ} \\ = \frac{1}{2 π} \int_{π}^{2 π} d φ e^{- i n (φ + 2 π)} e^{i z \sin (φ + 2 π)} \\ (100) & = \frac{1}{2 π} \int_{π}^{2 π} d φ e^{- i n φ} e^{i z \sin φ} \end{aligned}$
となるから,
$\begin{aligned} J_{n} (z) & = \frac{1}{2 π} \int_{π}^{2 π} d φ e^{- i n φ} e^{i z \sin φ} + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d φ e^{- i n φ} e^{i z \sin φ} \\ (101) & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ} e^{i z \sin φ} \end{aligned}$
となる.
式 $(101)$ において, $J_{n} (z)$ を $z$ で微分すると,
$\begin{aligned} J_{n}^{'} (z) = \frac{d J_{n} (z)}{d z} & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ} \frac{d e^{i z \sin φ}}{d z} \\ (102) & = \frac{i}{2 π} \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ} e^{i z \sin φ} \sin φ \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} (103) & λ_{n} & = \frac{n v_{0}}{c} \sin θ \end{aligned}$
を用いれば,
$\begin{aligned} (104) & \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ + i λ_{n} \sin φ} \sin φ & = - 2 π i J_{n}^{'} (λ_{n}) \end{aligned}$
となる.
式 $(101)$ において, 部分積分を用いると,
$\begin{aligned} J_{n} (z) & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d φ {(\frac{e^{- i n φ}}{- i n})}^{'} e^{i z \sin φ} \\ = {[\frac{e^{- i n φ}}{- i n} e^{i z \sin φ}]}_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} d φ \frac{e^{- i n φ}}{- i n} e^{i z \sin φ} i z \cos φ \\ (105) & = \frac{z}{n} \int_{0}^{2 π} e^{- i n φ + i z \sin φ} \cos φ \end{aligned}$
であるから, 式 $(103)$ を用いれば,
$\begin{aligned} (106) & \int_{0}^{2 π} d φ e^{- i n φ + i z \sin φ} \cos φ & = \frac{2 π c J_{n} (λ_{n})}{v_{0} \sin θ} \end{aligned}$
となる.

式 $(94)$ , $(104)$ より
$\begin{aligned} (107) & E_{x} (r, ω) & = - \frac{i n e ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} (- 2 π i J_{n}^{'} (λ_{n})) = - \frac{n e ω_{s e} v_{0} J_{n}^{'} (λ_{n})}{c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \end{aligned}$
となり, 式 $(95)$ , $(106)$ より
$\begin{aligned} (108) & E_{y} (r, ω) & = \frac{i n e ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \cos^{2} θ \frac{2 π c J_{n} (λ_{n})}{v_{0} \sin θ} = \frac{i n e ω_{s e} J_{n} (λ_{n})}{c R} e^{- i ω n \cdot r / c} \frac{\cos^{2} θ}{\sin θ} \end{aligned}$
となり, 式 $(96)$ , $(106)$ より
$\begin{aligned} (109) & E_{z} (r, ω) & = - \frac{i n e ω_{s e} v_{0}}{2 π c^{2} R} e^{- i ω n \cdot r / c} \sin θ \cos θ \frac{2 π c J_{n} (λ_{n})}{v_{0} \sin θ} = - \frac{i n e ω_{s e} J_{n} (λ_{n})}{c R} e^{- i ω n \cdot r / c} \cos θ \end{aligned}$
となる.
式 $(51)$ , $(107)$ , $(108)$ , $(109)$ より, 輻射場によって持ち出される単位周波数, 単位面積あたりのエネルギー量は
$\begin{aligned} \frac{d W}{d A d ω} & = \frac{c}{2} {| E (r, ω) |}^{2} \\ = \frac{n^{2} e^{2} ω_{s e}^{2}}{2 c R^{2}} (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} J_{n}^{' 2} (λ_{n}) + (\frac{\cos^{4} θ}{\sin^{2} θ} + \cos^{2} θ) J_{n}^{2} (λ_{n})) \\ (110) & = \frac{n^{2} e^{2} ω_{s e}^{2}}{2 c R^{2}} (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} J_{n}^{' 2} (λ_{n}) + (\frac{1}{\sin^{2} θ} - 1) J_{n}^{2} (λ_{n})) \end{aligned}$
となる.
式 $(110)$ を面積に関して積分することにより, 輻射場によって持ち出される単位周波数あたりのエネルギー量は
$\begin{aligned} \frac{d W}{d ω} & = \frac{n^{2} e^{2} ω_{s e}^{2}}{2 c} \int_{0}^{π} d θ (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} J_{n}^{' 2} (λ_{n}) + (\frac{1}{\sin^{2} θ} - 1) J_{n}^{2} (λ_{n})) \sin θ \\ (111) & = \frac{2 n^{2} e^{2} ω_{s e}^{2}}{c} \int_{0}^{π / 2} d θ (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} J_{n}^{' 2} (λ_{n}) + (\frac{1}{\sin^{2} θ} - 1) J_{n}^{2} (λ_{n})) \sin θ \end{aligned}$
となる.
式 $(111)$ をBessel関数の性質を用いて変形すると, 以下の式を得る：
$\begin{array}{r} (112) & \frac{d W}{d ω} = \frac{2 e^{2} ω_{s e}^{2}}{v_{0}} (n \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} J_{2 n}^{'} (\frac{2 n v_{0}}{c}) + n^{2} (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ J_{2 n} (2 n ξ)) . \end{array}$

Bessel関数に関する性質：
$\begin{aligned} (113) & \int_{0}^{π / 2} d θ J_{n}^{2} (λ_{n}) \sin θ & = \frac{c}{2 n v_{0}} \int_{0}^{2 n v_{0} / c} d t J_{2 n} (t) = \frac{c}{v_{0}} \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ J_{2 n} (2 n ξ) . \end{aligned}$
Bessel関数に関する漸化式：
$\begin{aligned} (114) & J_{n}^{'} (z) & = \frac{1}{2} (J_{n - 1} (z) - J_{n + 1} (z)), \\ (115) & J_{n} (z) & = \frac{z}{2 n} (J_{n - 1} (z) + J_{n + 1} (z)) . \end{aligned}$
Bessel関数の微分( $n \neq 1$ )：
$\begin{aligned} J_{n}^{'} (z) & = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} d φ \frac{d}{d z} \cos (n φ - z \sin φ) \\ (116) & = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} d φ \sin (n φ - z \sin φ) \cdot \sin φ, \\ J_{n}^{'} (0) & = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} d φ \sin n φ \cdot \sin φ \\ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d φ (\cos (n φ - φ) - \cos (n φ + φ)) \\ = \frac{1}{2 π} {[\frac{1}{n - 1} \sin (n - 1) φ - \frac{1}{n + 1} \sin (n + 1) φ]}_{0}^{π} \\ (117) & = 0 . \end{aligned}$
式 $(113)$ , $(114)$ , $(115)$ , $(117)$ を用いれば,
$\begin{aligned} \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} \int_{0}^{π / 2} d θ J_{n}^{' 2} (λ_{n}) \sin θ \\ = \frac{v_{0}^{2}}{4 c^{2}} \int_{0}^{π / 2} d θ {(J_{n - 1} (λ_{n}) - J_{n + 1} (λ_{n}))}^{2} \sin θ \\ (118) & = \frac{v_{0}^{2}}{4 c^{2}} \int_{0}^{π / 2} d θ (J_{n - 1}^{2} (λ_{n}) - 2 J_{n - 1} (λ_{n}) J_{n + 1} (λ_{n}) + J_{n + 1}^{2} (λ_{n})) \sin θ \end{aligned}$
となり,
$\begin{aligned} \int_{0}^{π / 2} d θ (\frac{1}{\sin^{2} θ} - 1) J_{n}^{2} (λ_{n}) \sin θ \\ = \int_{0}^{π / 2} d θ (\frac{n^{2} v_{0}^{2}}{c^{2} λ_{n}^{2}} - 1) J_{n}^{2} (λ_{n}) \sin θ \\ = \int_{0}^{π / 2} d θ (\frac{n^{2} v_{0}^{2}}{c^{2} λ_{n}^{2}} \frac{λ_{n}^{2}}{4 n^{2}} {(J_{n - 1} (z) + J_{n + 1} (z))}^{2} - J_{n}^{2} (z)) \sin θ \\ (119) & = \int_{0}^{π / 2} d θ (\frac{v_{0}^{2}}{4 c^{2}} {(J_{n - 1} (z) + J_{n + 1} (z))}^{2} - J_{n}^{2} (z)) \sin θ \end{aligned}$
となるから,
$\begin{aligned} \int_{0}^{π / 2} d θ (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} J_{n}^{' 2} (λ_{n}) + (\frac{1}{\sin^{2} θ} - 1) J_{n}^{2} (λ_{n})) \sin θ \\ = \int_{0}^{π / 2} d θ (\frac{v_{0}^{2}}{4 c^{2}} (2 J_{n - 1}^{2} (λ_{n}) + 2 J_{n + 1}^{2} (λ_{n})) - J_{n}^{2} (λ_{n})) \sin θ \\ = \int_{0}^{π / 2} d θ (\frac{v_{0}^{2}}{2 c^{2}} (J_{n - 1}^{2} (λ_{n}) - 2 J_{n}^{2} (λ_{n}) + J_{n + 1}^{2} (λ_{n})) + (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) J_{n}^{2} (λ_{n})) \sin θ \\ = \frac{c}{v_{0}} \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ (\frac{v_{0}^{2}}{2 c^{2}} (J_{2 (n - 1)}^{2} (2 n ξ) - 2 J_{2 n}^{2} (2 n ξ) + J_{2 (n + 1)}^{2} (2 n ξ)) \\ + (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) J_{2 n}^{2} (2 n ξ)) \\ = \frac{c}{v_{0}} \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ (\frac{v_{0}^{2}}{2 c^{2}} (J_{(2 n - 1) - 1}^{2} (2 n ξ) - J_{(2 n - 1) + 1}^{2} (2 n ξ) \\ - J_{(2 n + 1) - 1}^{2} (2 n ξ) + J_{(2 n + 1) + 1}^{2} (2 n ξ)) + (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) J_{2 n}^{2} (2 n ξ)) \\ = \frac{c}{v_{0}} \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} (J_{2 n - 1}^{'} (2 n ξ) - J_{2 n + 1}^{'} (2 n ξ)) + (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) J_{2 n}^{2} (2 n ξ)) \\ = \frac{c}{v_{0}} (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} \frac{1}{2 n} {[J_{2 n - 1} (2 n ξ) - J_{2 n + 1} (2 n ξ)]}_{0}^{v_{0} / c} + (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ J_{2 n} (2 n ξ)) \\ = \frac{c}{v_{0}} (\frac{v_{0}^{2}}{2 n c^{2}} (J_{2 n - 1} (\frac{2 n v_{0}}{c}) - J_{2 n + 1} (\frac{2 n v_{0}}{c}) - J_{2 n - 1} (0) + J_{2 n + 1} (0)) \\ + (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ J_{2 n} (2 n ξ)) \\ = \frac{c}{v_{0}} (\frac{v_{0}^{2}}{n c^{2}} (J_{2 n}^{'} (\frac{2 n v_{0}}{c}) - J_{2 n}^{'} (0)) + (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ J_{2 n} (2 n ξ)) \\ (120) & = \frac{c}{v_{0}} (\frac{v_{0}^{2}}{n c^{2}} J_{2 n}^{'} (\frac{2 n v_{0}}{c}) + (\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}} - 1) \int_{0}^{v_{0} / c} d ξ J_{2 n} (2 n ξ)) \end{aligned}$
となる.

超相対論的な場合のシンクロトロン放射のスペクトル

超相対論的な場合には, 放射のスペクトル分布も特徴的な性格を持つ. 具体的には, 式 $(112)$ を変形して以下のような式が得られる：
$\begin{array}{r} (121) & \frac{d W}{d ω} = \frac{2 e^{4} B^{2}}{\sqrt{π} m_{e}^{2} c^{3}} \sqrt{u_{n}} (- Φ^{'} (u_{n}) - \frac{u_{n}}{2} \int_{u_{n}}^{\infty} d u^{'} Φ (u^{'})) . \end{array}$

$Φ (u)$ : Airy関数(Airy function). 次のAiry方程式
$\begin{aligned} (122) & \frac{d^{2} Φ (u)}{d u^{2}} - u Φ (u) & = 0 \end{aligned}$
の解となる. Airy関数 $Φ (u)$ を図3に示す.

図3 Airy関数

Φ (u)

$u_{n} = n^{2 / 3} (1 - v_{0}^{2} / c^{2})$
$u^{'} = n^{2 / 3} (1 - ξ^{2})$
可能なところでは $v_{0} / c = 1$ で置き換えている.
Bessel関数に関する以下の漸近公式( $n ≫ 1$ , $1 - ξ ≪ 1$ )
$\begin{aligned} (123) & J_{2 n ξ} & ≃ \frac{1}{\sqrt{π} n^{1 / 3}} Φ [n^{2 / 3} (1 - ξ^{2})] \end{aligned}$
を用いている. 積分範囲には $1$ に近くない $ξ$ も含まれているが, $ξ$ が小さい( $ξ \to + 0$ の意味で)範囲ではBessel関数 $J_{2 n} (2 n ξ)$ が $0$ に急速に近づくため, 漸近公式を使うことが許される.
積分範囲は $(u_{n}, n^{2 / 3})$ であるが, $n ≫ 1$ であり, また $u^{'}$ が大きい範囲ではAiry関数 $Φ (u^{'})$ が $0$ に急速に近づく^*8ため, 積分上限を無限大で置き換えている.
$d ξ$ を $d u^{'}$ に変換する際に
$\begin{aligned} (124) & d u^{'} & = - 2 n^{2 / 3} ξ d ξ \end{aligned}$
となってしまう. しかし, $ξ$ は
$\begin{aligned} (125) & ξ & = \sqrt{1 - \frac{u^{'}}{n^{2 / 3}}} \end{aligned}$
であるから $u^{'}$ が小さい範囲では $ξ ≃ 1$ であり, また $u^{'}$ が大きい範囲ではそもそもAiry関数 $Φ (u^{'})$ が $0$ に急速に近づくため, $ξ ≃ 1$ としてもよい. ゆえに,
$\begin{aligned} (126) & d u^{'} & = - 2 n^{2 / 3} d ξ \end{aligned}$
として計算している.

$u \to 0$ のとき, 式 $(121)$ の括弧の中の関数は定数の極限 $Φ^{'} (0)$ に近づく. したがって, $u ≪ 1$ に関しては
$\begin{aligned} (127) & \frac{d W}{d ω} & = - \frac{2 e^{4} B^{2} Φ^{'} (0)}{\sqrt{π} m_{e}^{2} c^{3}} \sqrt{1 - \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}}} n^{1 / 3}, 1 ≪ n ≪ {(1 - \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}})}^{- 3 / 2} \end{aligned}$
が得られる.
$u ≪ 1$ に対してはAiry関数に対する漸近公式
$\begin{aligned} (128) & Φ (u) & ≃ \frac{e^{- \frac{2}{3} u^{3 / 2}}}{2 \sqrt{π} u^{1 / 4}} \end{aligned}$
を用いて,
$\begin{aligned} (129) & \frac{d W}{d ω} & = \frac{n^{1 / 2} e^{4} B^{2}}{π m_{e}^{2} c^{3}} {(1 - \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}})}^{5 / 4} \exp [- \frac{2}{3} n {(1 - \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}})}^{3 / 2}], n ≫ {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{- 3 / 2} \end{aligned}$
が得られる.
式 $(127)$ , $(129)$ より, スペクトルは
$\begin{array}{r} (130) & n \sim {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{- 3 / 2} \end{array}$
付近で極大を持ち, シンクロトロン放射の大部分は
$\begin{array}{r} (131) & ω \sim ω_{s e} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{- 3 / 2} = \frac{e B}{m_{e} c} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{- 1} \end{array}$
であるような振動数の領域に集中している.

式 $(131)$ の $ω$ は $ω_{s e}$ に比べて(超相対論的な場合には)十分大きい.
$\Rightarrow$ このスペクトルは, 非常に多くの隣接した線からできている.
$\Rightarrow$ 連続的な性格を持つ.

数値計算のために, 式 $(121)$ は以下のようによく変形される：
$\begin{array}{r} (132) & \frac{d W}{d ω} = \frac{\sqrt{3} e^{4} B^{2}}{2 π^{2 / 3} m_{e}^{2} c^{3}} χ \int_{χ}^{\infty} d χ^{'} K_{5 / 3} (χ^{'}) \end{array}$

連続的な性格を持つことを強調するため, 離散的なものを表す添え字 $_{n}$ は省略している. $χ$ は $ω = n ω_{s e}$ で書き表すことができるため, 右辺は $ω$ の関数である.
$K_{ν} (z)$ ：変形Bessel関数(modified Bessel function). 以下の微分方程式
$\begin{aligned} (133) & z^{2} \frac{d^{2} J_{n} (z)}{d z^{2}} + z \frac{d J_{n} (z)}{d z} - (z^{2} + n^{2}) J_{n} (z) & = 0 \end{aligned}$
の解である.
正の $u > 0$ に対して, Airy関数は変形Bessel関数と
$\begin{aligned} (134) & Φ (u) & = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{u}{3}} K_{1 / 3} (\frac{2 u^{3 / 2}}{3}), \\ (135) & Φ^{'} (u) & = - \frac{u}{\sqrt{3} π} K_{2 / 3} (\frac{2 u^{3 / 2}}{3}) \end{aligned}$
の関係がある.
変形Bessel関数を用いて式 $(121)$ を書き直すと, 以下のようになる：
$\begin{aligned} \frac{d W}{d ω} & = \frac{2 e^{4} B^{2}}{\sqrt{π} m_{e}^{2} c^{3}} \sqrt{u} (\frac{u}{\sqrt{3} π} K_{2 / 3} (\frac{2 u^{3 / 2}}{3}) - \frac{u}{2} \int_{u}^{\infty} d u^{'} \frac{1}{π} \sqrt{\frac{u^{'}}{3}} K_{1 / 3} (\frac{2 u^{' 3 / 2}}{3})) \\ (136) & = \frac{2 e^{4} B^{2}}{\sqrt{3} π^{2 / 3} m_{e}^{2} c^{3}} u^{2 / 3} (K_{2 / 3} (\frac{2 u^{3 / 2}}{3}) - \frac{1}{2} \int_{u}^{\infty} d u^{'} \sqrt{u^{'}} K_{1 / 3} (\frac{2 u^{' 3 / 2}}{3})) \end{aligned}$
となる.
$lim_{z \to \infty} K_{2 / 3} (z) = 0$ であるから,
$\begin{aligned} (137) & \frac{d W}{d ω} & = \frac{\sqrt{3} e^{4} B^{2}}{π^{2 / 3} m_{e}^{2} c^{3}} χ (K_{2 / 3} (χ) - \frac{1}{2} \int_{χ}^{\infty} d χ^{'} K_{1 / 3} (χ^{'})) \end{aligned}$
となる.
変形Bessel関数に関してもBessel関数に関する漸化式 $(114)$ と似た漸化式
$\begin{aligned} (138) & K_{ν}^{'} (z) & = - \frac{1}{2} (K_{ν - 1} (z) + K_{ν + 1} (z)) \end{aligned}$
および, 変形Bessel関数に関する性質 $K_{ν} (z) = K_{- ν} (z)$ を用いると,
$\begin{aligned} \frac{d W}{d ω} & = - \frac{\sqrt{3} e^{4} B^{2}}{2 π^{2 / 3} m_{e}^{2} c^{3}} χ (- \int_{χ}^{\infty} d χ^{'} (K_{- 1 / 3} (χ^{'}) + K_{5 / 3} (χ^{'})) + \frac{1}{2} \int_{χ}^{\infty} d χ^{'} K_{1 / 3} (χ^{'})) \\ = - \frac{\sqrt{3} e^{4} B^{2}}{2 π^{2 / 3} m_{e}^{2} c^{3}} χ (- \int_{χ}^{\infty} d χ^{'} (K_{1 / 3} (χ^{'}) + K_{5 / 3} (χ^{'})) + \frac{1}{2} \int_{χ}^{\infty} d χ^{'} K_{1 / 3} (χ^{'})) \\ (139) & = \frac{\sqrt{3} e^{4} B^{2}}{2 π^{2 / 3} m_{e}^{2} c^{3}} χ \int_{χ}^{\infty} d χ^{'} K_{5 / 3} (χ^{'}) \end{aligned}$
となる.

ここで,
$\begin{array}{r} (140) & F (χ) = χ \int_{χ}^{\infty} d χ^{'} K_{5 / 3} (χ^{'}) \end{array}$
として, 関数 $F (χ)$ のグラフを描くと, 図4のようになる.

図4 関数

F (χ)

のグラフ.

$ω ≃ 0.29 ω_{c}$ の当たりで放射される電磁波のエネルギーが最大になる.
$ω_{c}$ ：臨界周波数(critical frequency)と呼ばれる周波数,
$\begin{aligned} (141) & ω_{c} & = \frac{3}{2} ω_{s e} γ^{3} = 0.42 {(\frac{γ}{10^{4}})}^{2} (\frac{B}{10^{- 6} G}) GHz \end{aligned}$
臨界周波数は, 電子のエネルギー(直接的には $γ$ )に応じて電波(およそ $10^{3} GHz$ 以下)からX線(およそ $10^{7} - 10^{10} GHz$ )までに及ぶ.