誤差の伝播法則-Shinoryo's Weblog

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誤差というのは一般に, 実験や観測, データの処理などで生じる, 測定値と真の値の差のことをいいます. ここでは, 複数の物理量から新たな物理量を得る際に問題になる, 誤差を含む値同士の足し算, 引き算, かけ算, 割り算など(誤差の伝播)について紹介します.

目次[非表示]

1間接測定
2誤差の伝播
3誤差の伝播式の例
4誤差の伝播式の利用の例
5参考文献

間接測定

物理量の測定においては, 直接その物理量を求める場合のほかに, 複数の物理量の測定から1つの物理量を求める場合があります. ここでは, その複数の物理量は独立している(互いに影響を与えない)とします.

例えば, ある長方形の面積 $S$ は, 縦の長さ $x$ と横の長さ $y$ を測定すれば, $S = S (x, y) = x y$ のように求めることができます. $x$ と $y$ を測定した際にそれらの標準偏差が $σ_{x}$ , $σ_{y}$ のように独立に求められている場合, $S = S (x, y)$ の標準偏差はどのように求められるのでしょうか.

誤差の伝播

このようなことを考える際に, 誤差の伝播(Error Propagation)という考え方が必要になってきます.

誤差の伝播式

ある物理量 $A$ と, 独立な物理量 $X, Y, Z, \dots$ を考える. それらの測定値 $a$ および $x, y, z, \dots$ との関係は, $a = a (x, y, z, \dots)$ で与えられるとする. また, 登場する各物理量の真の値を $A_{m}$ および $X_{m}, Y_{m}, Z_{m}, \dots$ のように表す. このとき誤差の伝播式(つまり, $A$ の標準偏差 $σ_{a}$ および $σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}, \dots$ の間にある関係)は

\begin{array}{r} (1) & σ_{a} = \sqrt{{({\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}} σ_{x})}^{2} + {({\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}} σ_{y})}^{2} + {({\frac{\partial a}{\partial z} |}_{z = Z_{m}} σ_{z})}^{2} + \dots} \end{array}

となる.

以下, 登場する各物理量の誤差を $ϵ_{a}$ および $ϵ_{x}, ϵ_{y}, ϵ_{z}, \dots$ とします.

このとき, 真の値に関する式として

\begin{array}{r} (2) & A_{m} = a (X_{m}, Y_{m}, Z_{m}, \dots) \end{array}

という式が得られます. また, 測定された物理量に関しては,

\begin{array}{r} (3) & A_{m} + ϵ_{a} = a (X_{m} + ϵ_{x}, Y_{m} + ϵ_{y}, Z_{m} + ϵ_{z}, \dots) \end{array}

と書くことができます. 両者の差を取ると

\begin{aligned} (4) & ϵ_{a} & = a (X_{m} + ϵ_{x}, Y_{m} + ϵ_{y}, Z_{m} + ϵ_{z}, \dots) - a (X_{m}, Y_{m}, Z_{m}, \dots) \end{aligned}

となります. 誤差が大きくなる頻度は小さいのでTaylor展開を行うと,

\begin{aligned} (5) & ϵ_{a} & = {\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}} ϵ_{x} + {\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}} ϵ_{y} + {\frac{\partial a}{\partial z} |}_{z = Z_{m}} ϵ_{z} + \dots \end{aligned}

となります. 両辺を二乗すると,

\begin{aligned} ϵ_{a}^{2} & = {({\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}} ϵ_{x})}^{2} + {({\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}} ϵ_{y})}^{2} + {({\frac{\partial a}{\partial z} |}_{z = Z_{m}} ϵ_{z})}^{2} + \dots \\ (6) & + 2 ϵ_{x} ϵ_{y} {\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}} {\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}} + \dots \end{aligned}

となります.

さて, 誤差を $n$ 回測定して二乗平均を取れば, 分散が得られます. 計算すれば,

\begin{aligned} \frac{\sum_{i} ϵ_{a, i}^{2}}{n} & = \frac{\sum_{i} ϵ_{x, i}^{2}}{n} {({\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}})}^{2} + \frac{\sum_{i} ϵ_{y, i}^{2}}{n} {({\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}})}^{2} \\ (7) & + \frac{\sum_{i} ϵ_{z, i}^{2}}{n} {({\frac{\partial a}{\partial z} |}_{z = Z_{m}})}^{2} + \dots + 2 \frac{\sum_{i} ϵ_{x, i} ϵ_{y, i}}{n} {\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}} {\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}} + \dots \end{aligned}

となります. しかし, $\sum_{i} ϵ_{x, i} ϵ_{y, i}$ のような項に関しては, $ϵ_{x, i}$ , $ϵ_{y, i}$ は独立に正負の値を取るので, これは結局 $0$ としてよいことが分かります. ゆえに,

\begin{aligned} (8) & \frac{\sum_{i} ϵ_{a, i}^{2}}{n} & = \frac{\sum_{i} ϵ_{x, i}^{2}}{n} {({\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}})}^{2} + \frac{\sum_{i} ϵ_{y, i}^{2}}{n} {({\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}})}^{2} + \frac{\sum_{i} ϵ_{z, i}^{2}}{n} {({\frac{\partial a}{\partial z} |}_{z = Z_{m}})}^{2} + \dots \end{aligned}

となります. $σ_{a}$ および $σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}, \dots$ を用いて書き直せば,

\begin{aligned} (9) & σ_{a}^{2} & = σ_{x}^{2} {({\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}})}^{2} + σ_{y}^{2} {({\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}})}^{2} + σ_{z}^{2} {({\frac{\partial a}{\partial z} |}_{z = Z_{m}})}^{2} + \dots \end{aligned}

が得られ, 両辺の正の平方根をとれば,

\begin{aligned} (10) & σ_{a} & = \sqrt{σ_{x}^{2} {({\frac{\partial a}{\partial x} |}_{x = X_{m}})}^{2} + σ_{y}^{2} {({\frac{\partial a}{\partial y} |}_{y = Y_{m}})}^{2} + σ_{z}^{2} {({\frac{\partial a}{\partial z} |}_{z = Z_{m}})}^{2} + \dots} \end{aligned}

となります. このようにして, 誤差の伝播式を示すことができました.

誤差の伝播式の例

誤差の伝播式の例を, 以下で具体的に見ていきましょう.

定数倍

$a (x, y) = n x$ の場合を考えると( $n$ ：定数),

\begin{aligned} (11) & \frac{\partial a}{\partial x} & = n \end{aligned}

となりますので,

\begin{aligned} (12) & σ_{a} & = n σ_{x} \end{aligned}

が分かります.

足し算, 引き算

$a (x, y) = x \pm y$ の場合を考えると,

\begin{aligned} (13) & \frac{\partial a}{\partial x} & = 1, \\ (14) & \frac{\partial a}{\partial y} & = 1 \end{aligned}

となりますので,

\begin{aligned} (15) & σ_{a} & = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2}} \end{aligned}

が分かります.

掛け算, 割り算

$a (x, y) = x y$ の場合を考えると,

\begin{aligned} (16) & \frac{\partial a}{\partial x} & = y, \\ (17) & \frac{\partial a}{\partial y} & = x \end{aligned}

となりますので,

\begin{aligned} (18) & σ_{a} & = \sqrt{{(Y_{m} σ_{x})}^{2} + {(X_{m} σ_{y})}^{2}} \end{aligned}

が分かります.

また, $a (x, y) = x / y$ の場合を考えると,

\begin{aligned} (19) & \frac{\partial a}{\partial x} & = \frac{1}{y}, \\ (20) & \frac{\partial a}{\partial y} & = - \frac{x}{y^{2}} \end{aligned}

となりますので,

\begin{aligned} (21) & σ_{a} & = \sqrt{{(\frac{σ_{x}}{Y_{m}})}^{2} + {(\frac{x σ_{y}}{y^{2}})}^{2}} \end{aligned}

が分かります.

指数関数

$a (x) = e^{x}$ の場合を考えると,

\begin{aligned} (22) & \frac{\partial a}{\partial x} & = e^{x} \end{aligned}

となりますので,

\begin{aligned} (23) & σ_{a} & = e^{X_{m}} σ_{x} (= A_{m} σ_{x}) \end{aligned}

が分かります.

対数関数

$a (x) = e^{x}$ の場合を考えると,

\begin{aligned} (24) & \frac{\partial a}{\partial x} & = \frac{1}{x} \end{aligned}

となりますので,

\begin{aligned} (25) & σ_{a} & = \frac{σ_{x}}{X_{m}} \end{aligned}

が分かります.

誤差の伝播式の利用の例

例えば, 次の例を考えてみましょう.

Aさんは, 自身の身長を $(1.60 \pm 0.01) m$ , 体重を $(57.0 \pm 0.5) kg$ と測定した( $\pm$ で標準偏差を示している). AさんのBMIとその標準偏差はどうなるだろうか. ただし, BMIは

\begin{array}{r} (26) & BMI = \frac{体重 [kg]}{{身長 [m]}^{2}} \end{array}

である.

身長を $x = X_{m} + σ_{x} = (1.60 \pm 0.01) m$ , 体重を $y = Y_{m} + σ_{y} = (57.0 \pm 0.5) kg$ , BMIを $a = A_{m} + σ_{a}$ とすると,

\begin{aligned} (27) & a & = \frac{y}{x^{2}} \end{aligned}

の関係があります(以下, $x$ と $y$ に関する単位は省略します).

\begin{aligned} (28) & \frac{\partial a}{\partial x} & = - \frac{2 y}{x^{3}}, \\ (29) & \frac{\partial a}{\partial y} & = \frac{1}{x^{2}} \end{aligned}

となるから,

\begin{aligned} (30) & σ_{a} & = \sqrt{{(\frac{2 Y_{m}}{X_{m}^{3}} σ_{x})}^{2} + {(\frac{1}{X_{m}^{2}} σ_{y})}^{2}} \end{aligned}

となります. 値を代入して計算すれば,

\begin{aligned} (31) & σ_{a} & = 0.340 \end{aligned}

となり, 平均値 $A_{m} = 22.3$ と併せて記述すれば,

\begin{aligned} (32) & a & = 22.3 \pm 0.3 \end{aligned}

と書けます.

参考文献

Berendsen, Herman J. C. A student's guide to data and error analysis. Cambridge, Cambridge University Press, 2011, p.18-26, ISBN 1-107-08342-7.

Cambridge University Press

A Student's Guide to Data and Error Analysis (Student's Guides)

YES4625727

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井上一哉. “誤差論”. 物理学教育部会ホームページ. https://www.edu.kobe-u.ac.jp/iphe-butsuri/pr/img/Inoue-statistics1.pdf, (参照 2022-03-28).
石島秋彦. “誤差の伝搬法則”. 石島研究室ホームページ. http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa-01.html, (参照 2022-03-28).