誤差というのは一般に, 実験や観測, データの処理などで生じる, 測定値と真の値の差のことをいいます. ここでは, 複数の物理量から新たな物理量を得る際に問題になる, 誤差を含む値同士の足し算, 引き算, かけ算, 割り算など(誤差の伝播)について紹介します.
間接測定
物理量の測定においては, 直接その物理量を求める場合のほかに, 複数の物理量の測定から1つの物理量を求める場合があります. ここでは, その複数の物理量は独立している(互いに影響を与えない)とします.
例えば, ある長方形の面積$S$は, 縦の長さ$x$と横の長さ$y$を測定すれば, $S = S(x,y) = xy$のように求めることができます. $x$と$y$を測定した際にそれらの標準偏差が$\sigma_x$, $\sigma_y$のように独立に求められている場合, $S = S(x,y)$の標準偏差はどのように求められるのでしょうか.
誤差の伝播
このようなことを考える際に, 誤差の伝播(Error Propagation)という考え方が必要になってきます.
誤差の伝播式
ある物理量$A$と, 独立な物理量$X, Y, Z, \ldots$を考える. それらの測定値$a$および$x, y, z, \ldots$との関係は, $a = a(x, y, z, \ldots)$で与えられるとする. また, 登場する各物理量の真の値を$A_m$および$X_m, Y_m, Z_m, \ldots$のように表す. このとき誤差の伝播式(つまり, $A$の標準偏差$\sigma_a$および$\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \ldots$の間にある関係)は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\sigma_a = \sqrt{\left( \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \sigma_x \right)^2 + \left( \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} \sigma_y \right)^2 + \left( \left. \frac{\partial a}{\partial z} \right|_{z = Z_m} \sigma_z \right)^2 + \cdots}}
\end{align}
となる.
以下, 登場する各物理量の誤差を$\epsilon_a$および$\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z, \ldots$とします.
このとき, 真の値に関する式として
\begin{align}
A_m = a(X_m, Y_m, Z_m , \ldots)
\end{align}
という式が得られます. また, 測定された物理量に関しては,
\begin{align}
A_m + \epsilon_a = a(X_m + \epsilon_x, Y_m + \epsilon_y, Z_m + \epsilon_z , \ldots)
\end{align}
と書くことができます. 両者の差を取ると
\begin{align}
\epsilon_a &= a(X_m + \epsilon_x, Y_m + \epsilon_y, Z_m + \epsilon_z , \ldots) - a(X_m, Y_m, Z_m , \ldots)
\end{align}
となります. 誤差が大きくなる頻度は小さいのでTaylor展開を行うと,
\begin{align}
\epsilon_a &= \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \epsilon_x + \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} \epsilon_y + \left. \frac{\partial a}{\partial z} \right|_{z = Z_m} \epsilon_z + \cdots
\end{align}
となります. 両辺を二乗すると,
\begin{align}
\epsilon_a^2 &= \left( \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \epsilon_x \right)^2 + \left( \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} \epsilon_y \right)^2 + \left( \left. \frac{\partial a}{\partial z} \right|_{z = Z_m} \epsilon_z \right)^2 + \cdots \nonumber \\
&\quad + 2 \epsilon_x \epsilon_y \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} + \cdots
\end{align}
となります.
さて, 誤差を$n$回測定して二乗平均を取れば, 分散が得られます. 計算すれば,
\begin{align}
\frac{\sum_i \epsilon_{a, i}^2}{n} &= \frac{\sum_i \epsilon_{x, i}^2}{n} \left( \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \right)^2 + \frac{\sum_i \epsilon_{y, i}^2}{n} \left( \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} \right)^2 \nonumber \\
&\quad + \frac{\sum_i \epsilon_{z, i}^2}{n} \left( \left. \frac{\partial a}{\partial z} \right|_{z = Z_m} \right)^2 + \cdots + 2 \frac{\sum_i \epsilon_{x, i} \epsilon_{y, i}}{n} \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} + \cdots
\end{align}
となります. しかし, $\sum_i \epsilon_{x, i} \epsilon_{y, i}$のような項に関しては, $\epsilon_{x, i}$, $\epsilon_{y, i}$は独立に正負の値を取るので, これは結局$0$としてよいことが分かります. ゆえに,
\begin{align}
\frac{\sum_i \epsilon_{a, i}^2}{n} &= \frac{\sum_i \epsilon_{x, i}^2}{n} \left( \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \right)^2 + \frac{\sum_i \epsilon_{y, i}^2}{n} \left( \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} \right)^2 + \frac{\sum_i \epsilon_{z, i}^2}{n} \left( \left. \frac{\partial a}{\partial z} \right|_{z = Z_m} \right)^2 + \cdots
\end{align}
となります. $\sigma_a$および$\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \ldots$を用いて書き直せば,
\begin{align}
\sigma_a^2 &= \sigma_x^2 \left( \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \right)^2 + \sigma_y^2 \left( \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} \right)^2 + \sigma_z^2 \left( \left. \frac{\partial a}{\partial z} \right|_{z = Z_m} \right)^2 + \cdots
\end{align}
が得られ, 両辺の正の平方根をとれば,
\begin{align}
\sigma_a &= \sqrt{\sigma_x^2 \left( \left. \frac{\partial a}{\partial x} \right|_{x = X_m} \right)^2 + \sigma_y^2 \left( \left. \frac{\partial a}{\partial y} \right|_{y = Y_m} \right)^2 + \sigma_z^2 \left( \left. \frac{\partial a}{\partial z} \right|_{z = Z_m} \right)^2 + \cdots}
\end{align}
となります. このようにして, 誤差の伝播式を示すことができました.
誤差の伝播式の例
誤差の伝播式の例を, 以下で具体的に見ていきましょう.
定数倍
$a(x, y) = n x$の場合を考えると($n$：定数),
\begin{align}
\frac{\partial a}{\partial x} &= n
\end{align}
となりますので,
\begin{align}
\sigma_a &= n \sigma_x
\end{align}
が分かります.
足し算, 引き算
$a(x, y) = x \pm y$の場合を考えると,
\begin{align}
\frac{\partial a}{\partial x} &= 1 , \\
\frac{\partial a}{\partial y} &= 1
\end{align}
となりますので,
\begin{align}
\sigma_a &= \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}
\end{align}
が分かります.
掛け算, 割り算
$a(x, y) = xy$の場合を考えると,
\begin{align}
\frac{\partial a}{\partial x} &= y , \\
\frac{\partial a}{\partial y} &= x
\end{align}
となりますので,
\begin{align}
\sigma_a &= \sqrt{\left( Y_m \sigma_x \right)^2 + \left( X_m \sigma_y \right)^2}
\end{align}
が分かります.
また, $a(x, y) = x / y$の場合を考えると,
\begin{align}
\frac{\partial a}{\partial x} &= \frac{1}{y} , \\
\frac{\partial a}{\partial y} &= - \frac{x}{y^2}
\end{align}
となりますので,
\begin{align}
\sigma_a &= \sqrt{\left( \frac{\sigma_x}{Y_m} \right)^2 + \left( \frac{x \sigma_y}{y^2} \right)^2}
\end{align}
が分かります.
指数関数
$a(x) = e^x$の場合を考えると,
\begin{align}
\frac{\partial a}{\partial x} &= e^x
\end{align}
となりますので,
\begin{align}
\sigma_a &= e^{X_m} \sigma_x (= A_m \sigma_x)
\end{align}
が分かります.
対数関数
$a(x) = e^x$の場合を考えると,
\begin{align}
\frac{\partial a}{\partial x} &= \frac{1}{x}
\end{align}
となりますので,
\begin{align}
\sigma_a &= \frac{\sigma_x}{X_m}
\end{align}
が分かります.
誤差の伝播式の利用の例
例えば, 次の例を考えてみましょう.
Aさんは, 自身の身長を$(1.60 \pm 0.01) \, \mathrm{m}$, 体重を$(57.0 \pm 0.5) \, \mathrm{kg}$と測定した($\pm$で標準偏差を示している). AさんのBMIとその標準偏差はどうなるだろうか. ただし, BMIは
\begin{align}
\text{BMI} = \frac{\text{体重}[\mathrm{kg}]}{{\text{身長}[\mathrm{m}]}^2}
\end{align}
である.
身長を$x = X_m + \sigma_x = (1.60 \pm 0.01) \, \mathrm{m}$, 体重を$y = Y_m + \sigma_y = (57.0 \pm 0.5) \, \mathrm{kg}$, BMIを$a = A_m + \sigma_a$とすると,
\begin{align}
a &= \frac{y}{x^2}
\end{align}
の関係があります(以下, $x$と$y$に関する単位は省略します).
\begin{align}
\frac{\partial a}{\partial x} &= - \frac{2y}{x^3} , \\
\frac{\partial a}{\partial y} &= \frac{1}{x^2}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\sigma_a &= \sqrt{\left( \frac{2 Y_m}{X_m^3} \sigma_x \right)^2 + \left( \frac{1}{X_m^2} \sigma_y \right)^2}
\end{align}
となります. 値を代入して計算すれば,
\begin{align}
\sigma_a &= 0.340
\end{align}
となり, 平均値$A_m = 22.3$と併せて記述すれば,
\begin{align}
a &= 22.3 \pm 0.3
\end{align}
と書けます.
参考文献
- Berendsen, Herman J. C. A student's guide to data and error analysis. Cambridge, Cambridge University Press, 2011, p.18-26, ISBN 1-107-08342-7.
リンク
こちらの日本語訳もあります.
Berendsen, Herman J. C. データ・誤差解析の基礎. 林茂雄, 馬場凉訳. 東京化学同人, 2013, 235p., ISBN 978-4-8079-0825-7.
リンク
- 井上一哉. “誤差論”. 物理学教育部会ホームページ. https://www.edu.kobe-u.ac.jp/iphe-butsuri/pr/img/Inoue-statistics1.pdf, (参照 2022-03-28).
- 石島秋彦. “誤差の伝搬法則”. 石島研究室ホームページ. http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa-01.html, (参照 2022-03-28).
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