無限べき乗の収束

ここでは, 無限べき乗の収束に関して議論を行っていきたいと思います.

無限べき乗とは

ここで取り扱う「無限べき乗」とは, 正の定数$a$に対して,

のことを指します.

例えば, $a=1$のときは明らかに

となります. 一方, $a=2$のときは

のように正に発散します($2^2=4$, $2^{2^2}=16$, $2^{2^{2^2}}=65536$, $\cdots$). 基本的には$a$が小さければ収束し, $a$が大きければ発散すると考えられます. その境目はどこなのか, 考えていきましょう.

無限べき乗の収束の視覚化

無限べき乗の収束・発散の議論は, しばしば以下のように視覚化されます.

$y=x$のグラフと$y=a^x$のグラフを用意します. ここでは$a=1.2$として, グラフを描いてみます.

このグラフから, $x$座標の値として$[a,a^a,a^{a^a},\dots ]$を求めていくことを考えます.

まず, $(1,1)$から$(1,a)$へ線を(縦に)引きます. そこから$(a,a)$へと線を(横に)引きます. このようにして, 1段階目の$a$が分かります.

さらに, $(a,a^a)$へと線を(縦に)引きます. そこから$(a^a,a^a)$へと線を(横に)引きます. このようにして, 2段階目の$a^a$が分かります.

さらに, $(a^a,a^{a^a})$へと線を(縦に)引きます. そこから$(a^{a^a},a^{a^a})$へと線を(横に)引きます. このようにして, 3段階目の$a^{a^a}$が分かります.

以上を繰り返していくことで, $a^{a^{a^{a^{a^{\cdots }}}}}$が求まります. $a=1.2$の場合, $y=x$のグラフと$y=a^x$のグラフに交点がありますので, ${1.2}^{{1.2}^{{1.2}^{{1.2}^{{1.2}^{\cdots }}}}}$の値はその交点の座標の値になるでしょう.

逆に, 以上のことを$a=1.5$に対して行うと, $y=x$のグラフと$y=a^x$のグラフに交点がないので, ${1.5}^{{1.5}^{{1.5}^{{1.5}^{{1.5}^{\cdots }}}}}$の値は発散してしまうことが分かります.

無限べき乗の収束の収束・発散

このように考えると, 「無限べき乗$a^{a^{a^{a^{a^{\cdots }}}}}$が収束するか」という問題は, 「$y=x$のグラフと$y=a^x$のグラフが交わるか」という問題に置き換わることになります. これを利用して, 無限べき乗$a^{a^{a^{a^{a^{\cdots }}}}}$が収束する$a$の上限を求めていきましょう.

$a$が無限べき乗収束の上限値である場合, $y=x$のグラフと$y=a^x$のグラフが「ギリギリ交わっている」状態, つまり「接している状態」であるといえます. よって, その接点では

の2式が成り立たなくてはなりません. それぞれの式の意味は,

• その$x$座標では2つのグラフが交わる
• その$x$座標では2つのグラフの傾きが一致する

になります.

まず, 微分の方の式を計算すると,

を得ます. ただし, $e$は自然対数の底を表します. これを微分ではない式に代入して計算することで,

を得ます. よって, $y=x$のグラフと$y=a^x$のグラフが接している状態になるのは, $a=e^{1/e}$の場合に限り, その接している$x$座標は$x={\log }_a{\log }_{a}e$ということになります.

ゆえに, 無限べき乗$a^{a^{a^{a^{a^{\cdots }}}}}$ (ただし, $a>0$)は,

• $a\le e^{1/e}$の場合：収束
• $a>e^{1/e}$の場合：発散

となります.