Einstein-Hilbert作用は, 一般相対性理論において, 最小作用の原理を通してEinstein方程式を導く作用である. ここでは, Einstein-Hilbert作用を用いてEinstein方程式の導出を行う.
一般相対性理論における作用
一般相対性理論における作用は, Einstein-Hilbert作用(Einstein-Hilbert action)$S_g$と物質場の作用$S_m$を合わせて
\begin{align}
S &= S_g + S_m
\end{align}
と書ける. Einstein-Hilbert作用は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{S_g = \frac{c^3}{16 \pi G} \int \left( R - 2 \Lambda \right) \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x}
\end{align}
である. 一方, 物質場の作用は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{S_m = \frac{1}{c} \int \mathcal{L} \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x}
\end{align}
である(ただし, $\mathcal{L}$は物質場のLagrangian密度である).
Einstein-Hilbert作用の変分
一旦Einstein-Hilbert作用の変分をとってみる
Einstein-Hilbert作用の変分をとると,
\begin{align}
\delta S_g &= \frac{c^3}{16 \pi G} \int \delta \left[ \left( R - 2 \Lambda \right) \sqrt{-g} \right] \, \mathrm{d}^4x \nonumber \\
&= \frac{c^3}{16 \pi G} \int \left[ \sqrt{-g} \delta R + \left( R - 2 \Lambda \right) \delta \sqrt{-g} \right] \, \mathrm{d}^4x \label{eq_4}
\end{align}
となる.
計量テンソルの行列式の変分の計算
$\delta g$を計算すると, 行列式に対するLeibnizの明示公式より
\begin{align}
\delta g &= \delta \left[ \det g_{\mu \nu} \right] \nonumber \\
&= \delta \left[ \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} g_{0 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} \right] \nonumber \\
&= \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \left( \delta g_{0 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} + g_{0 \mu} \delta g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} + g_{0 \mu} g_{1 \nu} \delta g_{2 \alpha} g_{3 \beta} + g_{0 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} \delta g_{3 \beta} \right) \label{eq_5}
\end{align}
となる(ただし, $\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}$はLevi-Civita記号である). ここで, \eqref{eq_5}の第1項に関しては
\begin{align}
\delta^\lambda_\mu &= g^{\lambda \sigma} g_{\sigma \mu}
\end{align}
を用いることで,
\begin{align}
\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \delta g_{0 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} &= \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \left( \delta^\lambda_\mu \right) \delta g_{0 \lambda} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} \nonumber \\
&= \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \left( g^{\lambda \sigma} g_{\sigma \mu} \right) \delta g_{0 \lambda} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} \nonumber \\
&= \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \left( g^{\lambda 0} g_{0 \mu} + g^{\lambda 1} g_{1 \mu} + g^{\lambda 2} g_{2 \mu} + g^{\lambda 3} g_{3 \mu} \right) \delta g_{0 \lambda} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} \nonumber \\
&= \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} g_{0 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} g^{\lambda 0} \delta g_{0 \lambda} \nonumber \\
&\quad + \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} g_{1 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} g^{\lambda 1} \delta g_{0 \lambda} \nonumber \\
&\quad + \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} g_{2 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} g^{\lambda 2} \delta g_{0 \lambda} \nonumber \\
&\quad + \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} g_{3 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} g^{\lambda 3} \delta g_{0 \lambda} \label{eq_6}
\end{align}
となる. \eqref{eq_6}の第2項, 第3項, 第4項に関して,
- 第2項：$\mu$と$\nu$の入れ替えに関して反対称な項と対称な項の積
- 第3項：$\mu$と$\alpha$の入れ替えに関して反対称な項と対称な項の積
- 第4項：$\mu$と$\beta$の入れ替えに関して反対称な項と対称な項の積
であるから, \eqref{eq_6}の第2項, 第3項, 第4項は$0$になる. ゆえに,
\begin{align}
\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \delta g_{0 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} &= \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} g_{0 \mu} g_{1 \nu} g_{2 \alpha} g_{3 \beta} g^{\lambda 0} \delta g_{0 \lambda} \nonumber \\
&= g g^{\lambda 0} \delta g_{0 \lambda}
\end{align}
となる. \eqref{eq_5}の第2項, 第3項, 第4項に関しても同様に計算すると,
\begin{align}
\delta g &= g g^{\lambda 0} \delta g_{0 \lambda} + g g^{\lambda 1} \delta g_{1 \lambda} + g g^{\lambda 2} \delta g_{2 \lambda} + g g^{\lambda 3} \delta g_{3 \lambda} \nonumber \\
&= g g^{\lambda \eta} \delta g_{\lambda \eta} \label{eq_7}
\end{align}
となる.
\eqref{eq_7}より,
\begin{align}
\delta \sqrt{-g} &= - \frac{1}{2 \sqrt{-g}} \delta g \nonumber \\
&= - \frac{1}{2 \sqrt{-g}} g g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} \nonumber \\
&= \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} \label{eq_8}
\end{align}
となる.
Ricciスカラーの変分の計算
Ricciスカラーの変分をとると,
\begin{align}
\delta R &= \delta \left( g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} \right) \nonumber \\
&= R_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu} + g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} \label{eq_9}
\end{align}
である. ここで, 逆行列の定義から
\begin{align}
\delta \left( \delta^\mu_\nu \right) &= \delta \left( g^{\mu \lambda} g_{\lambda \nu} \right) \nonumber \\
&= g_{\eta \nu} \delta g^{\mu \eta} + g^{\mu \lambda} \delta g_{\lambda \nu} \nonumber \\
&= 0
\end{align}
となるから,
\begin{align}
g_{\eta \nu} \delta g^{\mu \eta} &= - g^{\mu \lambda} \delta g_{\lambda \nu} , \nonumber \\
\delta g^{\mu \eta} &= - g^{\mu \lambda} g^{\nu \eta} \delta g_{\lambda \nu} \label{eq_10}
\end{align}
となる*1. \eqref{eq_9}, \eqref{eq_10}より,
\begin{align}
\delta R &= R_{\mu \nu} \left( - g^{\mu \lambda} g^{\mu \sigma} \delta g_{\lambda \sigma} \right) + g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} \nonumber \\
&= - R^{\lambda \sigma} \delta g_{\lambda \sigma} + g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} \nonumber \\
&= - R^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} + g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} \label{eq_11}
\end{align}
となる.
Ricciテンソルの変分の計算
次に, Ricciテンソルの変分を計算する. Ricciテンソルの定義をあらわに書くと,
\begin{align}
R_{\mu \nu} &= {R^\lambda}_{\mu \lambda \nu} = {\Gamma^\lambda}_{\mu \nu, \lambda} - {\Gamma^\lambda}_{\mu \lambda, \nu} + {\Gamma^\lambda}_{\sigma \lambda} {\Gamma^\sigma}_{\mu \nu} - {\Gamma^\lambda}_{\sigma \nu} - {\Gamma^\sigma}_{\mu \lambda} \label{eq_12}
\end{align}
である(ただし, ${\Gamma^\alpha}_{\mu \nu}$はChristoffel記号である).
ここで, ${\Gamma^\alpha}_{\mu \nu}$という量はテンソルではないが, 変分$\delta {\Gamma^\alpha}_{\mu \nu}$はテンソルであることに注意する. 実際,
\begin{align}
\delta A_\mu = {\Gamma^\alpha}_{\mu \nu} A_\alpha \mathrm{d}x^\nu
\end{align}
は, ある点$P$からそれに無限に近い点$P^\prime$への平行移動によるベクトル$A_\mu$の変化である*2. したがって, $\delta {\Gamma^\alpha}_{\mu \nu} A_\alpha \mathrm{d}x^\nu$は, ある点$P$からそれに無限に近い点$P^\prime$への平行移動(1つは${\Gamma^\alpha}_{\mu \nu}$を変えずに, 1つは変えて)によるベクトル$A_\mu$の2つの変化の差である. 同一点での2個のベクトルの差はベクトルであるから, $\delta {\Gamma^\alpha}_{\mu \nu}$はテンソルである.
さて, 与えられた点で局所慣性系を用いることにすれば, \eqref{eq_12}において${\Gamma^\alpha}_{\mu \nu} = 0$であるから,
\begin{align}
g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} &= g^{\mu \nu} \delta \left( {\Gamma^\lambda}_{\mu \nu, \lambda} - {\Gamma^\lambda}_{\mu \lambda, \nu} \right) \nonumber \\
&= g^{\mu \nu} \left( \partial_\lambda \delta {\Gamma^\lambda}_{\mu \nu} - \partial_\nu \delta {\Gamma^\lambda}_{\mu \lambda} \right) \nonumber \\
&= g^{\mu \nu} \partial_\lambda \delta {\Gamma^\lambda}_{\mu \nu} - g^{\mu \lambda} \partial_\lambda \delta {\Gamma^\nu}_{\mu \nu} \nonumber \\
&= {w^\lambda}_{,\lambda}
\end{align}
となる(ただし, ベクトル$w^\lambda$は
\begin{align}
w^\lambda &= g^{\mu \nu} \delta {\Gamma^\lambda}_{\mu \nu} - g^{\mu \lambda} \delta {\Gamma^\nu}_{\mu \nu}
\end{align}
である)*3. $w^\lambda$はベクトルであるからこの式はテンソル式であり, 任意の座標系では今得た関係式を
\begin{align}
g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} &= {w^\lambda}_{;\lambda} \label{eq_13}
\end{align}
と書くことができる.
また, Christoffel記号を$g^{\mu \nu}$を用いて書くと,
\begin{align}
{\Gamma^\alpha}_{\mu \nu} &= \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( g_{\beta \mu, \nu} + g_{\beta \nu, \mu} - g_{\mu \nu, \beta} \right)
\end{align}
となる. 上で$\alpha$と$\nu$の縮約をとると,
\begin{align}
{\Gamma^\nu}_{\mu \nu} &= \frac{1}{2} g^{\nu \beta} \left( g_{\beta \mu, \nu} + g_{\beta \nu, \mu} - g_{\mu \nu, \beta} \right)
\end{align}
となるが, 括弧の中の第1項と第3項で添え字$\nu$と$\beta$の位置を入れ替えれば, これらの項は互いに打ち消しあうから,
\begin{align}
{\Gamma^\nu}_{\mu \nu} &= \frac{1}{2} g^{\nu \beta} g_{\beta \nu, \mu}
\end{align}
となる. そして, \eqref{eq_7}によって,
\begin{align}
{\Gamma^\nu}_{\mu \nu} &= \frac{g_{,\mu}}{2g} = \frac{\partial \ln \sqrt{-g}}{\partial x^\mu} \label{eq_14}
\end{align}
となる. \eqref{eq_13}, \eqref{eq_14}より,
\begin{align}
g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} &= {w^\lambda}_{;\lambda} \nonumber \\
&= {w^\lambda}_{,\lambda} + {\Gamma^\nu}_{\lambda \nu} w^\lambda \nonumber \\
&= {w^\lambda}_{,\lambda} + \frac{\partial \ln \sqrt{-g}}{\partial x^\lambda} w^\lambda \nonumber \\
&= \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \left( \sqrt{-g} w^\lambda \right)}{\partial x^\lambda} \label{eq_15}
\end{align}
再度Einstein-Hilbert作用の変分に戻る
\eqref{eq_4}, \eqref{eq_8}, \eqref{eq_11}, \eqref{eq_15}より,
\begin{align}
\delta S_g &= \frac{c^3}{16 \pi G} \int \left[ \sqrt{-g} \left( - R^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \left( \sqrt{-g} w^\lambda \right)}{\partial x^\lambda} \right) + \left( R - 2 \Lambda \right) \left( \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} \right) \right] \, \mathrm{d}^4x \nonumber \\
&= \frac{c^3}{16 \pi G} \int \left[ \left\{ - R^{\mu \nu} + \frac{1}{2} \left( R - 2 \Lambda \right) g^{\mu \nu} \right\} \delta g_{\mu \nu} + \frac{\partial \left( \sqrt{-g} w^\lambda \right)}{\partial x^\lambda} \right] \, \mathrm{d}^4x
\end{align}
となる. このうち, 最後の項はGaussの発散定理によって, 4次元の体積全部をとりかこむ超曲面の上に積分に交換される. 積分限界では場の変分は$0$であるから, この項は落ちてしまう. こうして, 変分$\delta S_g$は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\delta S_g = \frac{c^3}{16 \pi G} \int \left[ - R^{\mu \nu} + \frac{1}{2} \left( R - 2 \Lambda \right) g^{\mu \nu} \right] \delta g_{\mu \nu} \, \mathrm{d}^4x} \label{eq_16}
\end{align}
に等しい.
物質場の作用の変分
物質場の作用の変分をとると, \eqref{eq_8}より,
\begin{align}
\delta S_m &= \frac{1}{c} \int \delta \left( \mathcal{L} \sqrt{-g} \right) \, \mathrm{d}^4x
\end{align}
となる. エネルギー運動量テンソルは, Lagrangian$\mathcal{L}$を$g^{\mu \nu}$に関して変分をとることで,
\begin{align}
T_{\mu \nu} &= - \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \left( \sqrt{-g} \mathcal{L} \right)}{\delta g^{\mu \nu}}
\end{align}
すなわち
\begin{align}
T^{\mu \nu} &= \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \left( \sqrt{-g} \mathcal{L} \right)}{\delta g_{\mu \nu}}
\end{align}
と定義されるから,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\delta S_m = \frac{1}{2c} \int \sqrt{-g} T^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} \, \mathrm{d}^4x} \label{eq_17}
\end{align}
となる.
Einstein方程式
最終的に,
\begin{align}
0 &= \delta S_g + \delta S_m \nonumber \\
&= \frac{c^3}{16 \pi G} \int \left[ - R^{\mu \nu} + \frac{1}{2} \left( R - 2 \Lambda \right) g^{\mu \nu} + \frac{8 \pi G}{c^4} T^{\mu \nu} \right] \delta g_{\mu \nu} \, \mathrm{d}^4x
\end{align}
となる. これが任意の変分$\delta g_{\mu \nu}$に対して成り立つことから, Einstein方程式
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + g_{\mu \nu} \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}}
\end{align}
を得る.
参考文献
- Landau, L. D., Lifshitz, E. M. 場の古典論：電気力学, 特殊および一般相対性理論. 恒藤敏彦, 広重徹訳. 原書第6版, 東京図書, 1978, 450p., (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程, 2), ISBN 978-4-489-01161-0.
- Schutz, Bernard F. シュッツ相対論入門 II 一般相対論. 江里口良治, 二間瀬敏史訳. 第2版, 丸善, 2010, 349p., ISBN 978-4-621-08311-6.
- 辻川信二. 現代宇宙論講義：基礎からの系統的な理解を目指して. サイエンス社, 2013, 201p., (SGCライブラリ, 99), ISBN 978-4-7819-9972-2.
- “アインシュタイン方程式の作用原理による導出”. 2015-04-06. http://blog.livedoor.jp/ihccr/pdf/Einstein_eq.pdf, (参照 2021-03-25).
脚注
*1 : $\delta g^{\mu \nu}$はテンソルであるが, 添字の上げ下げについては通常の規則と異なることに注意せよ.
*2 : $A_\mu$の平行移動においては$A_{\mu; \nu} = 0$であり,
\begin{align}
\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} &= {\Gamma^\alpha}_{\mu \nu} A_\alpha
\end{align}
となる. ゆえに, $\mathrm{d}x^\nu$だけ平行移動させたとき, ベクトル$A_\mu$の変化は
\begin{align}
\delta A_\mu &= \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} \mathrm{d}x^\nu = {\Gamma^\alpha}_{\mu \nu} A_\alpha \mathrm{d}x^\nu
\end{align}
となる.
*3 : 今の場合, 局所慣性系であるから$g^{\mu \nu}$の1階導関数は$0$であることに注意せよ.
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