【日本語で解説】Einstein-Hilbert作用からのEinstein方程式の導出-Shinoryo's Weblog

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Einstein-Hilbert作用は, 一般相対性理論において, 最小作用の原理を通してEinstein方程式を導く作用である. ここでは, Einstein-Hilbert作用を用いてEinstein方程式の導出を行う.

1一般相対性理論における作用
2Einstein-Hilbert作用の変分
3物質場の作用の変分
4Einstein方程式
5参考文献
6脚注

一般相対性理論における作用

一般相対性理論における作用は, Einstein-Hilbert作用(Einstein-Hilbert action) $S_{g}$ と物質場の作用 $S_{m}$ を合わせて

\begin{aligned} (1) & S & = S_{g} + S_{m} \end{aligned}

と書ける. Einstein-Hilbert作用は

\begin{array}{r} (2) & S_{g} = \frac{c^{3}}{16 π G} \int (R - 2 Λ) \sqrt{- g} d^{4} x \end{array}

である. 一方, 物質場の作用は

\begin{array}{r} (3) & S_{m} = \frac{1}{c} \int L \sqrt{- g} d^{4} x \end{array}

である(ただし, $L$ は物質場のLagrangian密度である).

Einstein-Hilbert作用の変分

一旦Einstein-Hilbert作用の変分をとってみる

Einstein-Hilbert作用の変分をとると,

\begin{aligned} δ S_{g} & = \frac{c^{3}}{16 π G} \int δ [(R - 2 Λ) \sqrt{- g}] d^{4} x \\ (4) & = \frac{c^{3}}{16 π G} \int [\sqrt{- g} δ R + (R - 2 Λ) δ \sqrt{- g}] d^{4} x \end{aligned}

となる.

計量テンソルの行列式の変分の計算

$δ g$ を計算すると, 行列式に対するLeibnizの明示公式より

\begin{aligned} δ g & = δ [det g_{μ ν}] \\ = δ [ϵ^{μ ν α β} g_{0 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β}] \\ (5) & = ϵ^{μ ν α β} (δ g_{0 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} + g_{0 μ} δ g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} + g_{0 μ} g_{1 ν} δ g_{2 α} g_{3 β} + g_{0 μ} g_{1 ν} g_{2 α} δ g_{3 β}) \end{aligned}

となる(ただし, $ϵ^{μ ν α β}$ はLevi-Civita記号である). ここで, $(5)$ の第1項に関しては

\begin{aligned} (6) & δ_{μ}^{λ} & = g^{λ σ} g_{σ μ} \end{aligned}

を用いることで,

\begin{aligned} ϵ^{μ ν α β} δ g_{0 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} & = ϵ^{μ ν α β} (δ_{μ}^{λ}) δ g_{0 λ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} \\ = ϵ^{μ ν α β} (g^{λ σ} g_{σ μ}) δ g_{0 λ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} \\ = ϵ^{μ ν α β} (g^{λ 0} g_{0 μ} + g^{λ 1} g_{1 μ} + g^{λ 2} g_{2 μ} + g^{λ 3} g_{3 μ}) δ g_{0 λ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} \\ = ϵ^{μ ν α β} g_{0 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} g^{λ 0} δ g_{0 λ} \\ + ϵ^{μ ν α β} g_{1 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} g^{λ 1} δ g_{0 λ} \\ + ϵ^{μ ν α β} g_{2 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} g^{λ 2} δ g_{0 λ} \\ (7) & + ϵ^{μ ν α β} g_{3 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} g^{λ 3} δ g_{0 λ} \end{aligned}

となる. $(7)$ の第2項, 第3項, 第4項に関して,

第2項： $μ$ と $ν$ の入れ替えに関して反対称な項と対称な項の積
第3項： $μ$ と $α$ の入れ替えに関して反対称な項と対称な項の積
第4項： $μ$ と $β$ の入れ替えに関して反対称な項と対称な項の積

であるから, $(7)$ の第2項, 第3項, 第4項は $0$ になる. ゆえに,

\begin{aligned} ϵ^{μ ν α β} δ g_{0 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} & = ϵ^{μ ν α β} g_{0 μ} g_{1 ν} g_{2 α} g_{3 β} g^{λ 0} δ g_{0 λ} \\ (8) & = g g^{λ 0} δ g_{0 λ} \end{aligned}

となる. $(5)$ の第2項, 第3項, 第4項に関しても同様に計算すると,

\begin{aligned} δ g & = g g^{λ 0} δ g_{0 λ} + g g^{λ 1} δ g_{1 λ} + g g^{λ 2} δ g_{2 λ} + g g^{λ 3} δ g_{3 λ} \\ (9) & = g g^{λ η} δ g_{λ η} \end{aligned}

となる.

$(9)$ より,

\begin{aligned} δ \sqrt{- g} & = - \frac{1}{2 \sqrt{- g}} δ g \\ = - \frac{1}{2 \sqrt{- g}} g g^{μ ν} δ g_{μ ν} \\ (10) & = \frac{1}{2} \sqrt{- g} g^{μ ν} δ g_{μ ν} \end{aligned}

となる.

Ricciスカラーの変分の計算

Ricciスカラーの変分をとると,

\begin{aligned} δ R & = δ (g^{μ ν} R_{μ ν}) \\ (11) & = R_{μ ν} δ g^{μ ν} + g^{μ ν} δ R_{μ ν} \end{aligned}

である. ここで, 逆行列の定義から

\begin{aligned} δ (δ_{ν}^{μ}) & = δ (g^{μ λ} g_{λ ν}) \\ = g_{η ν} δ g^{μ η} + g^{μ λ} δ g_{λ ν} \\ (12) & = 0 \end{aligned}

となるから,

\begin{aligned} g_{η ν} δ g^{μ η} & = - g^{μ λ} δ g_{λ ν}, \\ (13) & δ g^{μ η} & = - g^{μ λ} g^{ν η} δ g_{λ ν} \end{aligned}

となる^*1. $(11)$ , $(13)$ より,

\begin{aligned} δ R & = R_{μ ν} (- g^{μ λ} g^{μ σ} δ g_{λ σ}) + g^{μ ν} δ R_{μ ν} \\ = - R^{λ σ} δ g_{λ σ} + g^{μ ν} δ R_{μ ν} \\ (14) & = - R^{μ ν} δ g_{μ ν} + g^{μ ν} δ R_{μ ν} \end{aligned}

となる.

Ricciテンソルの変分の計算

次に, Ricciテンソルの変分を計算する. Ricciテンソルの定義をあらわに書くと,

\begin{aligned} (15) & R_{μ ν} & = {R^{λ}}_{μ λ ν} = {Γ^{λ}}_{μ ν, λ} - {Γ^{λ}}_{μ λ, ν} + {Γ^{λ}}_{σ λ} {Γ^{σ}}_{μ ν} - {Γ^{λ}}_{σ ν} - {Γ^{σ}}_{μ λ} \end{aligned}

である(ただし, ${Γ^{α}}_{μ ν}$ はChristoffel記号である).

ここで, ${Γ^{α}}_{μ ν}$ という量はテンソルではないが, 変分 $δ {Γ^{α}}_{μ ν}$ はテンソルであることに注意する. 実際,

\begin{array}{r} (16) & δ A_{μ} = {Γ^{α}}_{μ ν} A_{α} d x^{ν} \end{array}

は, ある点 $P$ からそれに無限に近い点 $P^{'}$ への平行移動によるベクトル $A_{μ}$ の変化である^*2. したがって, $δ {Γ^{α}}_{μ ν} A_{α} d x^{ν}$ は, ある点 $P$ からそれに無限に近い点 $P^{'}$ への平行移動(1つは ${Γ^{α}}_{μ ν}$ を変えずに, 1つは変えて)によるベクトル $A_{μ}$ の2つの変化の差である. 同一点での2個のベクトルの差はベクトルであるから, $δ {Γ^{α}}_{μ ν}$ はテンソルである.

さて, 与えられた点で局所慣性系を用いることにすれば, $(15)$ において ${Γ^{α}}_{μ ν} = 0$ であるから,

\begin{aligned} g^{μ ν} δ R_{μ ν} & = g^{μ ν} δ ({Γ^{λ}}_{μ ν, λ} - {Γ^{λ}}_{μ λ, ν}) \\ = g^{μ ν} (\partial_{λ} δ {Γ^{λ}}_{μ ν} - \partial_{ν} δ {Γ^{λ}}_{μ λ}) \\ = g^{μ ν} \partial_{λ} δ {Γ^{λ}}_{μ ν} - g^{μ λ} \partial_{λ} δ {Γ^{ν}}_{μ ν} \\ (17) & = {w^{λ}}_{, λ} \end{aligned}

となる(ただし, ベクトル $w^{λ}$ は

\begin{aligned} (18) & w^{λ} & = g^{μ ν} δ {Γ^{λ}}_{μ ν} - g^{μ λ} δ {Γ^{ν}}_{μ ν} \end{aligned}

である)^*3. $w^{λ}$ はベクトルであるからこの式はテンソル式であり, 任意の座標系では今得た関係式を

\begin{aligned} (19) & g^{μ ν} δ R_{μ ν} & = {w^{λ}}_{; λ} \end{aligned}

と書くことができる.

また, Christoffel記号を $g^{μ ν}$ を用いて書くと,

\begin{aligned} (20) & {Γ^{α}}_{μ ν} & = \frac{1}{2} g^{α β} (g_{β μ, ν} + g_{β ν, μ} - g_{μ ν, β}) \end{aligned}

となる. 上で $α$ と $ν$ の縮約をとると,

\begin{aligned} (21) & {Γ^{ν}}_{μ ν} & = \frac{1}{2} g^{ν β} (g_{β μ, ν} + g_{β ν, μ} - g_{μ ν, β}) \end{aligned}

となるが, 括弧の中の第1項と第3項で添え字 $ν$ と $β$ の位置を入れ替えれば, これらの項は互いに打ち消しあうから,

\begin{aligned} (22) & {Γ^{ν}}_{μ ν} & = \frac{1}{2} g^{ν β} g_{β ν, μ} \end{aligned}

となる. そして, $(9)$ によって,

\begin{aligned} (23) & {Γ^{ν}}_{μ ν} & = \frac{g_{, μ}}{2 g} = \frac{\partial \ln \sqrt{- g}}{\partial x^{μ}} \end{aligned}

となる. $(19)$ , $(23)$ より,

\begin{aligned} g^{μ ν} δ R_{μ ν} & = {w^{λ}}_{; λ} \\ = {w^{λ}}_{, λ} + {Γ^{ν}}_{λ ν} w^{λ} \\ = {w^{λ}}_{, λ} + \frac{\partial \ln \sqrt{- g}}{\partial x^{λ}} w^{λ} \\ (24) & = \frac{1}{\sqrt{- g}} \frac{\partial (\sqrt{- g} w^{λ})}{\partial x^{λ}} \end{aligned}

再度Einstein-Hilbert作用の変分に戻る

$(4)$ , $(10)$ , $(14)$ , $(24)$ より,

\begin{aligned} δ S_{g} & = \frac{c^{3}}{16 π G} \int [\sqrt{- g} (- R^{μ ν} δ g_{μ ν} + \frac{1}{\sqrt{- g}} \frac{\partial (\sqrt{- g} w^{λ})}{\partial x^{λ}}) + (R - 2 Λ) (\frac{1}{2} \sqrt{- g} g^{μ ν} δ g_{μ ν})] d^{4} x \\ (25) & = \frac{c^{3}}{16 π G} \int [{- R^{μ ν} + \frac{1}{2} (R - 2 Λ) g^{μ ν}} δ g_{μ ν} + \frac{\partial (\sqrt{- g} w^{λ})}{\partial x^{λ}}] d^{4} x \end{aligned}

となる. このうち, 最後の項はGaussの発散定理によって, 4次元の体積全部をとりかこむ超曲面の上に積分に交換される. 積分限界では場の変分は $0$ であるから, この項は落ちてしまう. こうして, 変分 $δ S_{g}$ は

\begin{array}{r} (26) & δ S_{g} = \frac{c^{3}}{16 π G} \int [- R^{μ ν} + \frac{1}{2} (R - 2 Λ) g^{μ ν}] δ g_{μ ν} d^{4} x \end{array}

に等しい.

物質場の作用の変分

物質場の作用の変分をとると, $(10)$ より,

\begin{aligned} (27) & δ S_{m} & = \frac{1}{c} \int δ (L \sqrt{- g}) d^{4} x \end{aligned}

となる. エネルギー運動量テンソルは, Lagrangian $L$ を $g^{μ ν}$ に関して変分をとることで,

\begin{aligned} (28) & T_{μ ν} & = - \frac{2}{\sqrt{- g}} \frac{δ (\sqrt{- g} L)}{δ g^{μ ν}} \end{aligned}

すなわち

\begin{aligned} (29) & T^{μ ν} & = \frac{2}{\sqrt{- g}} \frac{δ (\sqrt{- g} L)}{δ g_{μ ν}} \end{aligned}

と定義されるから,

\begin{array}{r} (30) & δ S_{m} = \frac{1}{2 c} \int \sqrt{- g} T^{μ ν} δ g_{μ ν} d^{4} x \end{array}

となる.

Einstein方程式

最終的に,

\begin{aligned} 0 & = δ S_{g} + δ S_{m} \\ (31) & = \frac{c^{3}}{16 π G} \int [- R^{μ ν} + \frac{1}{2} (R - 2 Λ) g^{μ ν} + \frac{8 π G}{c^{4}} T^{μ ν}] δ g_{μ ν} d^{4} x \end{aligned}

となる. これが任意の変分 $δ g_{μ ν}$ に対して成り立つことから, Einstein方程式

\begin{array}{r} (32) & R_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} R + g_{μ ν} Λ = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν} \end{array}

を得る.

参考文献

Landau, L. D., Lifshitz, E. M. 場の古典論：電気力学, 特殊および一般相対性理論. 恒藤敏彦, 広重徹訳. 原書第6版, 東京図書, 1978, 450p., (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程, 2), ISBN 978-4-489-01161-0.
Schutz, Bernard F. シュッツ相対論入門 II 一般相対論. 江里口良治, 二間瀬敏史訳. 第2版, 丸善, 2010, 349p., ISBN 978-4-621-08311-6.
辻川信二. 現代宇宙論講義：基礎からの系統的な理解を目指して. サイエンス社, 2013, 201p., (SGCライブラリ, 99), ISBN 978-4-7819-9972-2.
“アインシュタイン方程式の作用原理による導出”. 2015-04-06. http://blog.livedoor.jp/ihccr/pdf/Einstein_eq.pdf, (参照 2021-03-25).

脚注

*1 : $δ g^{μ ν}$ はテンソルであるが, 添字の上げ下げについては通常の規則と異なることに注意せよ.

*2 : $A_{μ}$ の平行移動においては $A_{μ; ν} = 0$ であり,

\begin{aligned} (33) & \frac{\partial A_{μ}}{\partial x^{ν}} & = {Γ^{α}}_{μ ν} A_{α} \end{aligned}

となる. ゆえに, $d x^{ν}$ だけ平行移動させたとき, ベクトル $A_{μ}$ の変化は

\begin{aligned} (34) & δ A_{μ} & = \frac{\partial A_{μ}}{\partial x^{ν}} d x^{ν} = {Γ^{α}}_{μ ν} A_{α} d x^{ν} \end{aligned}

となる.

*3 : 今の場合, 局所慣性系であるから $g^{μ ν}$ の1階導関数は $0$ であることに注意せよ.

【日本語で解説】Einstein-Hilbert作用からのEinstein方程式の導出

一般相対性理論における作用

Einstein-Hilbert作用の変分

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Ricciスカラーの変分の計算

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再度Einstein-Hilbert作用の変分に戻る

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