Abel変換(アーベル変換; Abel transform)は, 球対称(あるいは軸対称)の関数の解析によく使われる積分変換である. ここでは, Abel変換の導出を行う.
Abel変換の概要 [1]
関数$f(r)$のAbel変換は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{F(y) = 2 \int_y^\infty \frac{f(r) r}{\sqrt{r^2 - y^2}} \, \mathrm{d}r} \label{eq_Abel_transform_2}
\end{align}
で与えられる. $f(r)$が$r^{-1}$よりもはやく$0$に落ちるという条件の下で, 逆Abel変換は
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{f(r) = - \frac{1}{\pi} \int_r^\infty \frac{\mathrm{d} F(y)}{\mathrm{d} y} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y^2 - r^2}}} \label{eq_Abel_transform_3}
\end{align}
で与えられる.
Abel変換の説明 [1]
図1. 2次元でのAbel変換の幾何学的解釈. 観測者は, 原点から距離$y$だけ離れた$x$軸に平行な線に沿って観測する. 観察者が見るのは, 球対称関数$f(r)$の視線方向の射影である. 観測者は, 原点から十分に離れた場所にあるとするため, $x$軸と視線方向は平行であると近似する. $f(r)$は球対称な関数で, $F(y)$は原点から距離$y$だけ離れた視線方向の射影である. 観測者は, 原点から十分に離れた場所にあるとするため, $x$軸と視線方向は平行であると近似する(図1参照). このとき,
\begin{align}
F(y) &= \int_{-\infty}^\infty f(\sqrt{x^2 + y^2}) \, \mathrm{d}x = 2 \int_0^\infty f(\sqrt{x^2 + y^2}) \, \mathrm{d}x
\end{align}
である. ここで,
\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\mathrm{d}x &= \frac{r \, \mathrm{d}r}{\sqrt{r^2 - y^2}}
\end{align}
であり,
\begin{align}
F(y) &= 2 \int_y^\infty \frac{f(r) r}{\sqrt{r^2 - y^2}} \, \mathrm{d}r
\end{align}
となる. 以上が, \eqref{eq_Abel_transform_2}に関する説明である.
Abel逆変換の説明 [1]
図2. \eqref{eq_Abel_transform_picture_2_1}から\eqref{eq_Abel_transform_picture_2_2}における重積分変換. 灰色に塗りつぶされている領域が積分範囲である. $F(y)$に関して部分積分を適用すると,
\begin{align}
F(y) &= 2 \int_y^\infty \frac{f(r) r}{\sqrt{r^2 - y^2}} \, \mathrm{d}r \nonumber \\
&= 2 \int_y^\infty f(r) \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \sqrt{r^2 - y^2} \right) \, \mathrm{d}r \nonumber \\
&= \left[ f(r) \sqrt{r^2 - y^2} \right]_y^\infty - 2 \int_y^\infty f^\prime(r) \sqrt{r^2 - y^2} \, \mathrm{d}r \nonumber \\
&= - 2 \int_y^\infty f^\prime(r) \sqrt{r^2 - y^2} \, \mathrm{d}r
\end{align}
となる(ただし, $f(r)$が$r^{-1}$よりもはやく$0$に落ちるというということを仮定している). これを$y$で微分すると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} F(y)}{\mathrm{d} y} &= 2y \int_y^\infty \frac{f^\prime(r)}{\sqrt{r^2 - y^2}} \, \mathrm{d}r
\end{align}
を得る. これを利用すると,
\begin{align}
- \frac{1}{\pi} \int_r^\infty \frac{\mathrm{d} F(y)}{\mathrm{d} y} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y^2 - r^2}} &= - \frac{1}{\pi} \int_r^\infty \left( 2y \int_y^\infty \frac{f^\prime(s)}{\sqrt{s^2 - y^2}} \, \mathrm{d}s \right) \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y^2 - r^2}} \nonumber \\
&= \int_r^\infty \left( \int_y^\infty \frac{-2y f^\prime(s)}{\pi \sqrt{\left( y^2 - r^2 \right) \left( s^2 - y^2 \right)}} \, \mathrm{d}s \right) \mathrm{d}y \label{eq_Abel_transform_picture_2_1}
\end{align}
となる. 重積分範囲を変換すると(図2参照),
\begin{align}
- \frac{1}{\pi} \int_r^\infty \frac{\mathrm{d} F(y)}{\mathrm{d} y} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y^2 - r^2}} &= \int_r^\infty \left( \int_r^s \frac{-2y f^\prime(s)}{\pi \sqrt{\left( y^2 - r^2 \right) \left( s^2 - y^2 \right)}} \, \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}s \nonumber \\
&= \int_r^\infty \left( - f^\prime(s) \right) \, \mathrm{d}s \nonumber \\
&= \left[ - f^\prime(s) \right]_r^\infty \nonumber \\
&= f(r) \label{eq_Abel_transform_picture_2_2}
\end{align}
となる. 以上が, \eqref{eq_Abel_transform_3}がAbel逆変換となるための説明である.
具体的な積分に関する補足 [2]
\eqref{eq_Abel_transform_picture_2_2}の式を追うためには,
\begin{align}
\int_r^s \frac{2y}{\sqrt{\left( y^2 - r^2 \right) \left( s^2 - y^2 \right)}} \, \mathrm{d}y &= \pi \label{eq_Abel_transform_1}
\end{align}
が分かれば十分であろう.
$y^2 = z$の変数変換を行うと, $2y \, \mathrm{d}y = \mathrm{d}z$であるから,
\begin{align}
\int_r^s \frac{2y}{\sqrt{\left( y^2 - r^2 \right) \left( s^2 - y^2 \right)}} \, \mathrm{d}y &= \int_{r^2}^{s^2} \frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{\left( z - r^2 \right) \left( s^2 - z \right)}}
\end{align}
となる. さらに,
\begin{align}
z &= w + \frac{s^2 + r^2}{2}
\end{align}
の置換を用いることで,
\begin{align}
\int_r^s \frac{2y}{\sqrt{\left( y^2 - r^2 \right) \left( s^2 - y^2 \right)}} \, \mathrm{d}y &= \int_{- \frac{s^2 - r^2}{2}}^{\frac{s^2 - r^2}{2}} \frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{\left( w + \frac{s^2 + r^2}{2} - r^2 \right) \left( s^2 - w - \frac{s^2 + r^2}{2} \right)}} \nonumber \\
&= \int_{- \frac{s^2 - r^2}{2}}^{\frac{s^2 - r^2}{2}} \frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{\left( w + \frac{s^2 - r^2}{2} \right) \left( - w + \frac{s^2 - r^2}{2} \right)}} \nonumber \\
&= \int_{- \frac{s^2 - r^2}{2}}^{\frac{s^2 - r^2}{2}} \frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{\left( \frac{s^2 - r^2}{2} \right)^2 - w^2}}
\end{align}
となる. さらに,
\begin{align}
w &= \frac{s^2 - r^2}{2} \sin \theta
\end{align}
の置換を用いることで,
\begin{align}
\int_r^s \frac{2y}{\sqrt{\left( y^2 - r^2 \right) \left( s^2 - y^2 \right)}} \, \mathrm{d}y &= \frac{2}{s^2 - r^2} \frac{s^2 - r^2}{2} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta \, \mathrm{d}\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} \nonumber \\
&= \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \nonumber \\
&= \pi
\end{align}
となる. 以上で, \eqref{eq_Abel_transform_1}が示せた.
参考文献
該当の部分には[ ]付きで示しています.
- “Abel transform”. Wikipedia. 2020-11-16. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Abel_transform&oldid=989003876, (accessed 2021-05-09).
- “ランダウ＝リフシッツ理論物理学教程を学ぶ人のために”. http://rironbuturi.html.xdomain.jp/, (参照 2020-12-06).
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