【日本語で解説】Abel変換(アーベル変換)の概要とその導出-Shinoryo's Weblog

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Abel変換(アーベル変換; Abel transform)は, 球対称(あるいは軸対称)の関数の解析によく使われる積分変換である. ここでは, Abel変換の導出を行う.

1Abel変換の概要 [1]
2Abel変換の説明 [1]
3Abel逆変換の説明 [1]
4具体的な積分に関する補足 [2]
5参考文献

Abel変換の概要 [1]

関数 $f (r)$ のAbel変換は

\begin{array}{r} (1) & F (y) = 2 \int_{y}^{\infty} \frac{f (r) r}{\sqrt{r^{2} - y^{2}}} d r \end{array}

で与えられる. $f (r)$ が $r^{- 1}$ よりもはやく $0$ に落ちるという条件の下で, 逆Abel変換は

\begin{array}{r} (2) & f (r) = - \frac{1}{π} \int_{r}^{\infty} \frac{d F (y)}{d y} \frac{d y}{\sqrt{y^{2} - r^{2}}} \end{array}

で与えられる.

Abel変換の説明 [1]

図1. 2次元でのAbel変換の幾何学的解釈. 観測者は, 原点から距離

y

だけ離れた

x

軸に平行な線に沿って観測する. 観察者が見るのは, 球対称関数

f (r)

の視線方向の射影である. 観測者は, 原点から十分に離れた場所にあるとするため,

x

軸と視線方向は平行であると近似する.

$f (r)$ は球対称な関数で, $F (y)$ は原点から距離 $y$ だけ離れた視線方向の射影である. 観測者は, 原点から十分に離れた場所にあるとするため, $x$ 軸と視線方向は平行であると近似する(図1参照). このとき,

\begin{aligned} (3) & F (y) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x = 2 \int_{0}^{\infty} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x \end{aligned}

である. ここで,

\begin{aligned} (4) & r & = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{aligned}

であるから,

\begin{aligned} (5) & d x & = \frac{r d r}{\sqrt{r^{2} - y^{2}}} \end{aligned}

であり,

\begin{aligned} (6) & F (y) & = 2 \int_{y}^{\infty} \frac{f (r) r}{\sqrt{r^{2} - y^{2}}} d r \end{aligned}

となる. 以上が, $(1)$ に関する説明である.

Abel逆変換の説明 [1]

図2.

(9)

から

(10)

における重積分変換. 灰色に塗りつぶされている領域が積分範囲である.

$F (y)$ に関して部分積分を適用すると,

\begin{aligned} F (y) & = 2 \int_{y}^{\infty} \frac{f (r) r}{\sqrt{r^{2} - y^{2}}} d r \\ = 2 \int_{y}^{\infty} f (r) (\frac{d}{d r} \sqrt{r^{2} - y^{2}}) d r \\ = {[f (r) \sqrt{r^{2} - y^{2}}]}_{y}^{\infty} - 2 \int_{y}^{\infty} f^{'} (r) \sqrt{r^{2} - y^{2}} d r \\ (7) & = - 2 \int_{y}^{\infty} f^{'} (r) \sqrt{r^{2} - y^{2}} d r \end{aligned}

となる(ただし, $f (r)$ が $r^{- 1}$ よりもはやく $0$ に落ちるというということを仮定している). これを $y$ で微分すると,

\begin{aligned} (8) & \frac{d F (y)}{d y} & = 2 y \int_{y}^{\infty} \frac{f^{'} (r)}{\sqrt{r^{2} - y^{2}}} d r \end{aligned}

を得る. これを利用すると,

\begin{aligned} - \frac{1}{π} \int_{r}^{\infty} \frac{d F (y)}{d y} \frac{d y}{\sqrt{y^{2} - r^{2}}} & = - \frac{1}{π} \int_{r}^{\infty} (2 y \int_{y}^{\infty} \frac{f^{'} (s)}{\sqrt{s^{2} - y^{2}}} d s) \frac{d y}{\sqrt{y^{2} - r^{2}}} \\ (9) & = \int_{r}^{\infty} (\int_{y}^{\infty} \frac{- 2 y f^{'} (s)}{π \sqrt{(y^{2} - r^{2}) (s^{2} - y^{2})}} d s) d y \end{aligned}

となる. 重積分範囲を変換すると(図2参照),

\begin{aligned} - \frac{1}{π} \int_{r}^{\infty} \frac{d F (y)}{d y} \frac{d y}{\sqrt{y^{2} - r^{2}}} & = \int_{r}^{\infty} (\int_{r}^{s} \frac{- 2 y f^{'} (s)}{π \sqrt{(y^{2} - r^{2}) (s^{2} - y^{2})}} d y) d s \\ = \int_{r}^{\infty} (- f^{'} (s)) d s \\ = {[- f^{'} (s)]}_{r}^{\infty} \\ (10) & = f (r) \end{aligned}

となる. 以上が, $(2)$ がAbel逆変換となるための説明である.

具体的な積分に関する補足 [2]

$(10)$ の式を追うためには,

\begin{aligned} (11) & \int_{r}^{s} \frac{2 y}{\sqrt{(y^{2} - r^{2}) (s^{2} - y^{2})}} d y & = π \end{aligned}

が分かれば十分であろう.

$y^{2} = z$ の変数変換を行うと, $2 y d y = d z$ であるから,

\begin{aligned} (12) & \int_{r}^{s} \frac{2 y}{\sqrt{(y^{2} - r^{2}) (s^{2} - y^{2})}} d y & = \int_{r^{2}}^{s^{2}} \frac{d z}{\sqrt{(z - r^{2}) (s^{2} - z)}} \end{aligned}

となる. さらに,

\begin{aligned} (13) & z & = w + \frac{s^{2} + r^{2}}{2} \end{aligned}

の置換を用いることで,

\begin{aligned} \int_{r}^{s} \frac{2 y}{\sqrt{(y^{2} - r^{2}) (s^{2} - y^{2})}} d y & = \int_{- \frac{s^{2} - r^{2}}{2}}^{\frac{s^{2} - r^{2}}{2}} \frac{d w}{\sqrt{(w + \frac{s^{2} + r^{2}}{2} - r^{2}) (s^{2} - w - \frac{s^{2} + r^{2}}{2})}} \\ = \int_{- \frac{s^{2} - r^{2}}{2}}^{\frac{s^{2} - r^{2}}{2}} \frac{d w}{\sqrt{(w + \frac{s^{2} - r^{2}}{2}) (- w + \frac{s^{2} - r^{2}}{2})}} \\ (14) & = \int_{- \frac{s^{2} - r^{2}}{2}}^{\frac{s^{2} - r^{2}}{2}} \frac{d w}{\sqrt{{(\frac{s^{2} - r^{2}}{2})}^{2} - w^{2}}} \end{aligned}

となる. さらに,

\begin{aligned} (15) & w & = \frac{s^{2} - r^{2}}{2} \sin θ \end{aligned}

の置換を用いることで,

\begin{aligned} \int_{r}^{s} \frac{2 y}{\sqrt{(y^{2} - r^{2}) (s^{2} - y^{2})}} d y & = \frac{2}{s^{2} - r^{2}} \frac{s^{2} - r^{2}}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos θ d θ}{\sqrt{1 - \sin^{2} θ}} \\ = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ \\ (16) & = π \end{aligned}

となる. 以上で, $(11)$ が示せた.

参考文献

該当の部分には[ ]付きで示しています.

“Abel transform”. Wikipedia. 2020-11-16. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Abel_transform&oldid=989003876, (accessed 2021-05-09).
“ランダウ＝リフシッツ理論物理学教程を学ぶ人のために”. http://rironbuturi.html.xdomain.jp/, (参照 2020-12-06).

【日本語で解説】Abel変換(アーベル変換)の概要とその導出

Abel変換の概要 [1]

Abel変換の説明 [1]

Abel逆変換の説明 [1]

具体的な積分に関する補足 [2]

参考文献

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